Тема 3. Численная обработка данных одномерной выборки.

Генеральная совокупность и выборка. Вариационные ряды. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические характеристики вариационных рядов. Среднее арифметическое и его свойства. Показатели вариации, свойства выборочной дисперсии. Выборочные начальные и центральные моменты.

Общие сведения о выборочном методе. Виды выборок. Понятие точечной оценки параметров. Свойства оценок. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Неравенство Рао-Крамера. Понятие интервального оценивания и доверительном интервале. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Понятие статистической гипотезы. Статистический критерий, уровень значимости и мощность критерия. Примеры проверок гипотез о числовых значениях параметров распределения. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Критерии согласия: – критерий Пирсона, критерий Колмогорова.

Понятия функциональной, стохастической и корреляционной зависимости. Линейная функция регрессии. Генеральный коэффициент корреляции. Поле корреляции. Выборочный коэффициент корреляции. Линейное уравнение регрессии, его погрешность. Смысл выборочного коэффициента корреляции, его значимость. Проверка гипотезы о линейности функции регрессии. Нелинейная регрессия. Множественная регрессия.

Ііі. Решение типовых задач

(все типовые задачи решены для т=3 п=3)

Теория вероятностей.

Тема 1: случайные события.

Общие указания.

1. Решение задач этой темы основано на простейшей модели теории вероятностей для вычисления вероятностей. Данную модель называют «классической схемой»,а определение вероятности – формулой классической вероятности. В этой модели основным понятием является понятие элементарный исход (элементарное событие).

Например, в задаче 1.1 элементарный исход – извлеченная перчатка – черная (или бежевого цвета). Для вычисления вероятности по классической формуле применяют следующий алгоритм:

1. Уяснить, в чем состоит эксперимент.

2. Установить, являются ли исходы равновозможными и несовместными.

3. Сформулировать событие, вероятность наступления которого необходимо найти (например, А – извлечена черная пара перчаток).

4. Определить пространство элементарных исходов и число его элементов -.

5. Подсчитать число исходов, благоприятствующих событию – N(А) (для события А).

6. Найти вероятность события А (или В, С,…), согласно формуле классического определения вероятности: P(A)=

2. Кроме классического определения вероятности, при решении задач применяются основные формулы теории вероятностей теоремы сложения и умножения. Следует помнить, что при использовании формул сложения вероятностей нужно проверять несовместность (или совместность) событий, а при использовании формул умножения – независимость (или зависимость) событий. С этим связан правильный выбор формул, так как вычисление вероятностей искомых событий основано на составлении формул, выражающие эти события через элементарные события с помощью операций сложения, умножения и отрицания (противоположных событий), а затем применяются основные формулы.

Задача 1.1

В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток черного цвета и 5 одинаковых пар перчаток бежевого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару.

Решение:

Пусть А – случайное событие, что извлечена черная пара перчаток – левая и правая; В – извлечена бежевая пара (левая и правая). Тогда событие С=А+В – извлеченные из ящика две перчатки одного цвета и образуют пару. А и В – несовместные события. Р(С)=Р(А)+Р(В) – формула сложения для несовместных событий. Вероятности Р(А) и Р(В) вычислим по формуле классического определения вероятности:

1) , где - число всех исходов (сколькими способами можно извлечь две перчатки из всего количества перчаток). - число благоприятных исходов (сколькими способами можно извлечь из черных перчаток две, образующих пару). Для подсчета и применяются формулы комбинаторики. В данном случае – сочетание

По условию задачи, в ящике 6 пар черных перчаток и 5 пар бежевых. Значит, всего перчаток l=(6+5)*2=22. Отсюда, – всего способов извлечь 2 перчатки из 22.

Найдем N(A). Так как левых 6 перчаток и правых 6, то по принципу умножения из комбинаторики . По классическому определению:

2) , где – тоже, что и для события A (Пять способов выбрать левую бежевую и пять способов выбрать правую бежевую и по принципу умножения способов выбора левой и правой перчаток).

Тогда Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,156+0,108=0,264

Тренинг умений: [2] №№1,11,17,39,41

Задача 1.2

В урне находится 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) Ровно два белых шара;

б) Не менее двух белых шаров.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами: