Пусть Х - дискретная случайная |
|||||
величина, |
заданная |
своим |
рядом |
||
распределения: |
|
|
|
|
|
x1 |
… |
xi |
… |
xn |
|
p1 |
… |
pi |
… |
pn |
|
Математическим ожиданием M[X] |
случайной величины Х называется сумма |
ряда |
n |
M[ X ] mx xi pi |
i 1 |
Например, в рассмотренном выше примере с двумя игральными кубиками:
M[ X ] 2 |
1 |
3 |
2 |
4 3 |
|
5 4 |
6 5 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
36 |
36 |
36 |
36 |
36 |
|
|
|||
7 6 |
8 5 |
9 4 |
10 3 |
11 2 |
12 1 |
|
7 |
|||
36 |
36 |
|
36 |
|
36 |
|
36 |
36 |
|
|
Среднее арифметическое значений, |
принимаемых случайной величиной в |
длинной серии опытов, приближенно |
равно ее математическому ожиданию. |
Эта теорема выражает приближенную связь между средним арифметическим и математическим ожиданием.
Проведем n опытов. Пусть при этом случайная величина Х приняла значение х1 - n1 раз, х2 -
n2 раз ... хm - nm раз.
Найдем среднее арифметическое этой случайной величины:
S (x n |
x n |
... x |
m |
n |
m |
) 1 |
= |
1 1 |
2 2 |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
x1 |
n1 |
x2 |
n2 |
... xm nm |
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
Так как отношение вида ni/n определяет частоту события в данной серии опытов, то при достаточно большом числе опытов оно приближается к вероятности этого события:
x1 p1 x2 p2 ... xm pm M[ X ]
СВОЙСТВА |
МАТЕМАТИЧЕСКОГО |
ОЖИДАНИЯ |
1 |
Математическое ожидание от |
постоянной величины равно |
этой постоянной величине: |
М[C]=C, C=const |
Рассмотрим ряд распределения случайной величины Х=С:
С 
1 
Тогда математическое ожидание будет равно
М[C]=C
2 |
Математическое ожидание суммы |
случайных величин Х и У равно |
сумме математических ожиданий |
этих величин: |
М[X+Y]=M[X]+M[Y] |
Распишем математическое ожидание суммы двух случайных величин по определению:
M[ X Y ] |
|
|
|
a p( X a,Y b) b p( X a,Y b) |
= |
||
a,b |
a,b |
слагаемые |
|
Перегруппируем |
|
||
иначе: |
|
|
|
= a p(X a,Y b) b p(X a,Y b) |
= |
||
a,b |
a,b |