Вузком смысле слова под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, которые утверждают приближение средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам.

Вшироком смысле этот закон утверждает, что при очень большом числе случайных явлений их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью вероятности.

В начале сформулируем и докажем необходимое в дальнейшем

Пусть Х - случайная величина с мат. ожиданием mx и дисперсией Dx. Тогда

для любого ε>0 вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего мат. ожидания больше, чем на ε, ограничена сверху величиной Dx/ ε 2

Предположим, что случайная величина Х дискретна и ее ряд распределения имеет вид:

Тогда дисперсия окажется больше полученной суммы:

D[ X ] (xi mx )2 pi

Делаем замену: xi mx

(xi mx )2 2

Тогда неравенство сохраняется:

D[ X ] 2 pi 2 pi

вероятность события, что разность СВ Х и ее математического ожидания

будет больше ε:

pi p( X mx )

xi mx

Следовательно неравенство

Пусть Х - равномерно распределенная на отрезке [0;10] случайная величина.

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания больше, чем на 0.5.

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Пусть Х -СВ с математическим ожиданием a и дисперсией d. Будем проводить серии из n независимых опытов и вычислять среднее арифметическое Yn значений,

принятых СВ в этих опытах. Тогда для юбого ε>0 вероятность того, что отклонение реднего арифметического от мат. ожидания дет больше, чем ε, будет стремиться к нул при неограниченном возрастании числа опытов в каждой серии :