Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
38
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
4.06 Mб
Скачать

Вузком смысле слова под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, которые утверждают приближение средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам.

Вшироком смысле этот закон утверждает, что при очень большом числе случайных

явлений их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью вероятности.

В начале сформулируем и докажем необходимое в дальнейшем

Пусть Х - случайная величина с мат. ожиданием mx и дисперсией Dx. Тогда

для любого ε>0 вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего мат. ожидания больше, чем на ε, ограничена сверху величиной Dx/ ε 2

p(

 

 

X mx

 

) Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что случайная величина Х дискретна и ее ряд распределения имеет вид:

xi x1 x2 xn

pi p1 p2 pn

Запишем дисперсию этой СВ:

 

 

 

 

n

 

D[ X ] M[( X mx )2 ] (xi mx )2 pi

 

 

 

 

i 1

 

Оставим в этой сумме только те

слагаемые,

 

которые

отвечают

условию

 

xi mx

 

 

 

 

 

 

Тогда дисперсия окажется больше полученной суммы:

D[ X ] (xi mx )2 pi

Делаем замену: xi mx

(xi mx )2 2

Тогда неравенство сохраняется:

D[ X ] 2 pi 2 pi

Последняя

 

xi mx

 

 

 

 

xi mx

 

 

 

 

 

 

сумма

представляет собой

вероятность события, что разность СВ Х и ее математического ожидания

будет больше ε:

pi p( X mx )

xi mx

Следовательно неравенство

примет вид:2

 

X mx

 

 

)

 

 

 

 

Dx p(

 

 

 

Откуда окончательно

 

 

 

 

получаем:

 

 

 

 

p(

 

X mx

 

) Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть Х - равномерно распределенная на отрезке [0;10] случайная величина.

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания больше, чем на 0.5.

Для равномерно распределенной CВ матожидание и дисперсия находятся:

M[ X ]

 

D[ X

]

( )2

 

 

 

12

 

2

где α и β - концы отрезка.

 

 

Тогда: M[X]=5, D[X]=100/12=8.3.

Примерим неравенство Чебышева:

p(

 

X 5

 

0.5)

8.3

33.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомая вероятность, равная на самом деле 0.9, получается менее, чем 33.2. Это слишком грубая оценка.

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Пусть Х -СВ с математическим ожиданием a и дисперсией d. Будем проводить серии из n независимых опытов и вычислять среднее арифметическое Yn значений,

принятых СВ в этих опытах. Тогда для юбого ε>0 вероятность того, что отклонение реднего арифметического от мат. ожидания дет больше, чем ε, будет стремиться к нул при неограниченном возрастании числа опытов в каждой серии :

p(

 

Yn a

 

) 0,

n