Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Международный университет МИТСО

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ан.геом. в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2016

Размер:

783.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

9. Плоскость P , проходящая через точку M1(x1; y1; z1) и перпендикулярная к двум (непараллельным) плоскостям Q1 , Q2 :

A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 ,

представляется уравнением

x x1 y y1 z z1

C1 0 .

(5)

A2 B2 C2

Замечание. В случае параллельности плоскостей Q1 , Q2 плоскость

P неопределенна. В соответствии с этим уравнение обращается в тождество.

Пример 2.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2;3) и перпендикулярной вектору n (3; 4;5) .

Решение. Подставив координаты точки и координаты нормального вектора в уравнение плоскости (3), получим:

3(x 1) 4 ( y 2) 5 (z 3) 0 , 3x 4 y 5z 26 0 . Ответ: 3x 4 y 5z 26 0 .

Пример	2.2. Что можно сказать о расположении плоскости
x 3y 5	0 ?

Решение. Так как в уравнении плоскости нет переменной z , а коэффициент D 5 0, то плоскость параллельна координатной оси

Oz.

Ответ: плоскость параллельна координатной оси Oz.

Пример 2.3. Из уравнения плоскости 3x 4 y 5z 9 0 получить

уравнение плоскости в отрезках.

Решение. Выполним следующую цепочку преобразований:

		3x 4 y 5z 9 0 , 3x 4 y 5z															9 ,
					3x 4 y 5z				1,				x 4 y 5z			1	,

							9					3		9	9
							9					3		9	9
								x		y			z	1.

							3				9		9
											9		9
									4			5
									4			5
Ответ:	x	y				z	1.

	3		9			9
			9			9
		4		5
		4		5

Пример 2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3; 2;7) параллельно плоскости 2x 3z 5 0 .

Решение. Так как искомая плоскость и данная параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку M (3; 2;7) провести плоскость, перпендикулярную данно-

му вектору n (2;0; 3) . Уравнение плоскости имеет вид (3). Подставив координаты точки и координаты нормального вектора,

получим: 2 (x	3)	3 (z	7) 0 , 2x 3z 27 0 .
Ответ: 2x	3z	27	0 .

Пример 2.5. Уравнение плоскости 2x 6 y 3z 14 0 привести к

нормальному виду.

Решение. Умножим обе части уравнения на нормирующий множитель (перед корнем будет знак «плюс», т. к. D 14 ):

														1							1	.
																		7
											2	2	(	6)	2	2
												2			2	2
																3
Получим		1		(2x			6 y			3z	14)		1	0 ,		2	x		6	y			3	z 2 0 .
Получим	7			(2x			6 y			3z	14)		7	0 ,		7	x	7		y			7	z 2 0 .
	7												7			7		7					7
Ответ:	2		x		6	y		3	z	2	0 .
Ответ:			x			y			z	2	0 .
7				7			7

Пример 2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2;3) и точку M1(0;2;5) , и параллельной оси Oy .

Решение. Так как плоскость параллельна оси Oy , то в уравнении

Ax By Cz D 0

ее коэффициент B				0 , т. е. уравнение плоскости имеет вид:
						Ax Cz D 0 .
Так как точки M (1;				2;3) и M1(0;2;5) лежат на плоскости, то их коор-
динаты должны удовлетворять ее уравнению, т. е.							A 3C	D	0, от-
							5C	D	0,
куда A	2	D ;	C		1	D ; следовательно, уравнение		плоскости
куда A	5	D ;	C	5		D ; следовательно, уравнение		плоскости
	5			5

	2	x	1	z	1	D	0 ,	или (после сокращения на D 0 )
5			5

2x z 5 0 .
Ответ:					2x	z	5	0 .

Пример 2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две

точки	M1(1;2;3) и M2 (2;1;1) перпендикулярно к плоскости
3x 4 y	z 6 0 .

Решение. Подставив координаты точек и нормального вектора в уравнение плоскости (4), получим:

x	1	y		2 z 3		x 1 y 2 z 3
2	1	1		2 1 3	0 ,	1	1	2	0 ,
	3		4	1		3	4	1

(x 1) 6 ( y 2) 4 (z 3) 3(z 3) 8 (x 1) ( y 2) 0 , 7x 7 y 7z 14 0 , x y z 2 0 .

Ответ: x y z 2 0 .

Пример 2.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1;3;2) перпендикулярно к плоскостям x 2 y z 4 0 ,

2x y 3z 5 0 .

Решение. Подставив координаты точки и нормальных векторов в уравнение плоскости (5), получим:

x 1	y 3	z	2
1	2	1		0 ,
2	1	3

6 (x 1) 2 ( y 3) z 2 4 (z 2) x 1 3( y 3) 0 , 5x y 3z 4 0 .

Ответ: 5x y 3z 4 0 .

3.Прямая в пространстве

1.Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точ-

ку M0 (x0; y0; z0 ) параллельно вектору s			(m; n; p) :
	x x0	y y0	z z0	.
				.
	m	n	p

Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называет-

ся направляющим вектором этой прямой.

Вектор s (m; n; p) − направляющий для прямой.

2. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Общие уравнения прямой:

A1x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0

(коэффициенты при переменных не пропорциональны).

Направляющий вектор данной прямой находится по формуле:

s	B1	C1	;		A1	C1	;	A1	B1	.	(6)
	B2	C2			A2	C2		A2	B2
								x	x0	mt ,
3. Параметрические уравнения прямой:								y	y0	nt,
								z	z0	pt,
где t − переменный параметр, t				R .

4. Уравнения прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , где x1 x2 ,		y1	y2 , z1		z2 , имеют вид:
	x	x1	y	y1		z	z1	.
								.
	x2	x1	y2	y1		z2	z1

5. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями

x x1	y y1	z z1	s1	(m1;n1; p1) ,
m1	n1	p1

x x2 y

z z2

(m2;n2; p2 )

определяется из формулы:

cos

m1m2

n1n2

p1 p2

(7)

Для нахождения острого угла между прямыми числитель правой части формулы следует взять по модулю:

cos		m1m2	n1n2	p1 p2			.



	m2	n2	p2	m2	n2	p2
1		1	1	2	2	2

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

m1	n1	p1	.
			.
m2	n2	p2

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве: m1m2 n1n2 p1 p2 0 .

6.Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых

водной плоскости (условие компланарности двух прямых):

x2 x1	y2	y1 z2	z1
m1	n1	p1		0 .	(8)
m2	n2	p2

Замечания:

1)если в определителе все строки пропорциональны, то прямые совпадают;

2)если пропорциональны только вторая и третья строки, то прямые параллельны;

3)если определитель равен нулю, но вторая и третья строки непро-

порциональны, то прямые пересекаются;

4)если определитель не равен нулю, то прямые скрещиваются.

Расстояние

от

точки

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

до

прямой

x x1

y y1

вычисляется по формуле:

x x

y y

Пример 3.1. Найти направляющий вектор прямой

2x y 3z 5 0.

Решение. Направляющий вектор находим по формуле (6):

Так как по условию A1

2, B1

1,C1

1, A2

2, B2

1,C2

3 , то

;

, s

2; 8; 4 .

1 3

2 3

Ответ: s

8; 4 .

Пример 3.2. Составить параметрические и канонические уравнения

прямой, проходящей через точку M0 (2;

4;5) параллельно прямой,

заданной уравнениями

x 1

Решение. Числа в знаменателях уравнений,

описывающих задан-

ную прямую, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Так как искомая прямая параллельна заданной, то направляющие векторы обеих прямых совпадают.

Следовательно,		m 2, n 1, p 5 . По условию задачи имеем также:
x0 2, y0	4, z0	5.

Тогда система параметрических уравнений искомой прямой: x 2 2t,

y 4 t, z 5 5t.

Аналогичным образом находим канонические уравнения прямой:

				x 2		y 4		z 5		.
			2		1		5

x 2 2t,
Ответ: y	4	t,	x 2		y 4		z 5		.
			2		1		5
z	5	5t,

Пример 3.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1( 2;3;4) и перпендикулярной прямым:

x 2 y 1 z			и	x	y 2	z 1	.
1	1	2		2	1	3

Решение. Уравнение искомой прямой имеет вид:

x 2	y 3	z 4	.
			.
m	n	p

Найдем m, n и p − координаты направляющего вектора s этой

прямой. Используя условие перпендикулярности прямых, можно записать:

														m 1				n (				1)			p 2		0,
														m 2				n 1					p 3			0.
		Данную систему можно переписать в виде
																m				n		2		0,

																p				p
																p				p
												2						m				n		3		0.
												2						p				p		3		0.
																		p				p
Отсюда				m				5	,	n		1	, т. е. m : n : p											5 :1: 3 , поэтому m 5t,
Отсюда									,				, т. е. m : n : p											5 :1: 3 , поэтому m 5t,
				p			3			p		3
	n	t, p		3t,			где t число.
Уравнения искомой прямой есть																			x			2			y	3		z 4	или
Уравнения искомой прямой есть																									t			3t	или
																					5t				t			3t
	x	2	y		3			z		4	.
		5	1				3				.
		5	1				3
		Ответ:				x	2				y	3			z 4		.
		Ответ:															.
							5			1		3

	Пример 3.4.			Найти угол между прямыми											x	1				y	2				z			и

																2					1				2
																2					1				2
	x 1	y 11 z	6		.
	1	2	1		.
	1	2	1
	Решение. Найдем cos							по формуле (7).
В нашем случае, m1						2, n1		1, p1	2,	m2		1,	n2				2, p2				1 и
		cos				2 1		( 1) 2	( 2) 1							2						6		,
																					9
			22			( 1)2		( 2)2	12	22		12		3 6
			22			( 1)2		( 2)2	12	22		12		3 6

следовательно, угол							arccos		6	106 .
следовательно, угол							arccos		9	106 .
									9

	Ответ: arccos					6		106 .
	Ответ: arccos					9		106 .
						9
	Пример 3.5. В уравнениях прямой										x	y			z		определить пара-
	Пример 3.5. В уравнениях прямой									2		3			n		определить пара-
										2		3			n
метр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой																		x	1				y 5				z	,
метр n так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой																			3				2			1		,
																			3				2			1

и найти точку их пересечения.

Решение. Для нахождения параметра n используем условие пересечения двух прямых:

			x2	x1	y2 y1		z2	z1
			m1			n1	p1		0.
			m2			n2	p2
Из (8) следует:
		( 5)		0	0
	0 ( 1) 0	( 5)		0	0
	3	2		1		0 или 2n		10 3		15n	0 ,
	2	3		n
				13n 13 , n 1 .
Следовательно, уравнения искомой прямой:									x	y	z	.
Следовательно, уравнения искомой прямой:									2	3	1	.
									2	3	1

Для вычисления координат точки пересечения прямых выразим x

y через z

из уравнения

: x

2z ,

3z .

Подставляя

их значения в равенство

y 5

, имеем

, отсюда

1. Зная z , находим x и y : x

2 ,

3 .

Следовательно, M (2; 3;1) .

Ответ: n

1 , M (2; 3;1) .

Пример 3.6. Прямая задана каноническими уравнениями

Составить общие уравнения этой прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:

				x	2		y	1	,
			3					5	,
			3					5
				x	2		z	3	,
			3					1	,
			3					1
отсюда	5x	3y 13 0,	Получили общие уравнения прямой, которая
	x 3z 11 0.
теперь	задана пересечением 2-х					плоскостей,				одна	из	которых
5x 3y	13	0 параллельна оси			Oz , а другая x					3z	11	0 парал-

лельна оси Oy .

Ответ:

5x 3y 13 0, x 3z 11 0.

Пример 3.7. Составить параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M0 (5; 1; 4) параллельно оси Ox .

Решение. Вектор, параллельный оси Ox , имеет координаты y 0, z 0 . В качестве направляющего вектора прямой берем единич-

ный вектор, направленный по оси Ox , т. е. s (1;0;0) . Тогда парамет- x 5 t,

рические уравнения прямой: y 1, z 4.

x 5 t,

Ответ: y 1, z 4.

Пример 3.8. Исследовать взаимное расположение двух прямых в каждом из следующих случаев:

x 1 2t,		x	4 3t,	x 6 2t,	x 10 4t,
1) y 2 5t, и		y 2 t,		2) y 5 t, и	y 3 2t,
z	3 4t	z 5 2t;		z 3 2t	z 7 4t.

Решение. 1) Из необходимого и достаточного условия расположения двух прямых (8) получим:

	4 1	2	2	5 ( 3)	5	0		8
	2	5		4	2	5		4		50	16	120	20		74	0 .
	3	1		2	3	1		2
Следовательно, прямые скрещиваются.
								6	3	5	7	3	4	2	4
							10	6	3	5	7	3	4	2	4
2) Так		как	в	определителе			2			1		2	2	1	2	все
							4			2		4	4	2	4

строки пропорциональны, то прямые совпадают.

Ответ: 1) прямые скрещиваются; 2) прямые совпадают.

4. Прямая и плоскость в пространстве

1. Угол	между прямой	x x0	y y0	z z0	и плоскостью
		m	n	p

Ax By Cz D 0 определяется из соотношения:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.201658.7 Кб9VED_zs_Shevchenko.docx
#
15.02.2016196.1 Кб25Voprosy_k_ekzamenu_ekonomika_organizatsii.doc
#
19.07.2019311.81 Кб5Zadaniye_SURS_AHD.doc
#
15.02.2016162.3 Кб11ZFO_Logistika_5k9sem-1.doc
#
15.02.201648.47 Кб45Адноклубова.docx
#
15.02.2016783.91 Кб15Ан.геом. в пространстве.pdf
#
15.02.2016112.64 Кб19Анализ деятельности предприятия.doc
#
15.02.201643.53 Кб12Архипова.docx
#
15.02.2016411.65 Кб41бел мова шпора.doc
#
15.02.2016617.05 Кб52Белорусский орнамент сакральное значение.docx
#
15.02.2016540.16 Кб51Билеты гаи.doc