Декодирование линейного кода по синдрому

Путь -матрица размера и ранганад полем. Этаматрица задает линейное отображение пространствавпространство по формуле .Ядро этого линейного отображения или множество решений уравнения , образующее подпространство пространства, являетсялинейным кодом. Можно рассмотреть разбиение пространства на классы равнообразности. В одинкласс входят все элементы , которые при отображениипереходят в один и тот же элемент пространства. Элемент пространства, в который переходят все элементы одного класса, называется синдромом.Pис.7.8 иллюстрирует разбиение пространства на классы равнообразности.

Отображение является отображением на всепространство . Для систематической матрицы H это практически очевидно. Действительно, для любогоможно найти (построить), такой, что.

Рис. 7.8. Разбиение пространства Bn на классы равнообразности

Произведение называется синдромом[29], [33]. Фактически, синдромом вектора является образ этого вектора при отображении -. Все векторы, имеющие один синдром, образуюткласс. Так как синдром имеетразмерность , всего существуетклассов (если проверочнаяматрица имеетранг , в частности, еслиматрица имеетсистематический вид). Из определения линейного кода следует, что класс, которому соответствует нулевой синдром, является кодом . Каждыйкласс , отличный от кода, порождается "сдвигом"кодана один из векторовкласса. Действительно, если., то есть, тогдаи, следовательно,и, где- кодовоеслово. Таким образом, любой некодовый вектор, имеющий синдром , можно представить в виде суммы кодового вектора и вектора, имеющего синдром.Представление такого вида не является единственным. Некодовый вектор в этой сумме можно рассматривать каквектор ошибок, произошедших в тех разрядах кодового слова , в которых соответствующие компоненты вектораравны 1. Из всех векторов ошибок, имеющих один синдром, наиболее вероятным являетсявектор (векторы) с минимальным весом (числом единичныхкомпонент). Такой вектор (векторы) называется лидером класса.

Алгоритм декодирования заключается в следующем. Если получен вектор и, считаем, что ошибкам соответствует наиболее вероятныйвектор из класса , то есть лидеркласса. Тогдадекодирование осуществляется ввектор , получающийся из принятого вектора удалением лидера.

Рассмотрим пример построения кода по заданной проверочной матрице и декодирования полученного сообщения по синдрому. Пусть дана проверочная матрица . Запишем уравнение для определения кодовых векторов (слов) для данной матрицы:

 и которые можно рассматривать как информационные разряды, задаются произвольно (всего 4 варианта 00, 01, 10, 11), а проверочные разрядыиопределяются черези. В итоге все кодовые слова определяются из выражения

где и- информационные разряды, а- порождающаяматрица, столбцами которой являются кодовые векторы.

Кодовые слова, рассматриваемые как векторы-столбцы, образуют матрицу кода

Расстояние кода равно минимальному весу ненулевого слова.

Найдем смежные классы, которые состоят из векторов пространства , имеющих одинаковый синдром, и выберем в каждом классе лидера (вектор из класса с минимальным весом).

Синдромом является любое возможное значение произведения .

В данном случае имеется 4 синдрома: .Каждому синдрому соответствует смежныйкласс, синдром соответствует коду. Смежные классы (столбцы матриц) для каждого синдрома и выбранные лидеры приведены в таблице.

Синдром
Класс смежности
Лидер

В третьем смежном классе - два потенциальных лидера с весом (нормой), равным 1. Один из них выбирается в качестве лидера произвольно.

Рассмотрим на этом примере процесс декодирования полученного вектора (слова) с использованием синдромов. Пусть передавался кодовый вектор и в процессе переачи произошла ошибка в первом разряде. Это означает, что на приемном конце был полученвектор , полученный из переданного векторав результате добавления вектора ошибки(ошибка в первом разряде). Определим синдром, вычисливпроизведение . В данном случае получим. Это означает, что полученныйвектор водит в четвертый смежныйкласс (см. таблицу). Лидером этого смежного класса является вектор , соответствующий данному синдрому. Вычитая (добавляя) лидер к принятому вектору, производимдекодирование В данном случаедекодирование выполнено правильно.