33.3. Приближенное решение нелинейных уравнений

Отделение корней уравнения

Пусть требуется найти действительные корни уравнения с заданной точностьюАлгоритм приближенного нахождения действительных корней уравнения состоит из двух этапов: 1)отделение корней, т. е. нахождение промежутков, содержащих только один корень данного уравнения; 2) уточнение корней, т. е. вычисление их с заданной точностью.

При графическом методе отделения корней строят график функции и определяют интервалы, в которых находятся точки пересеченияс осьюOx. Если построить график функции затруднительно, то уравнениепредставляют в эквивалентном видеи строят графики функцийиАбсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями данного уравнения.

При аналитическом методе отделения корней используется следующее утверждение: если непрерывная функция на концах отрезкапринимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере один кореньуравненияПри этом кореньбудет единственным, еслисохраняет знак внутри интервала

Если непрерывна на– точное, а– приближенное значения корня уравнениято имеем оценку абсолютной погрешности

(33.15)

где

Методы уточнения корня

Пусть дано уравнение причем кореньотделен, т. е.

1. Метод половинного деления

Согласно методу половинного деления, сначала отрезок делится пополам и из двух полученных отрезков выбирается тот, на концах которого функцияимеет противоположные знаки. Затем выбранный отрезок снова делится пополам и проводятся аналогичные рассуждения.

Процесс деления отрезка пополам продолжается до тех пор, пока на каком-то k-м этапе либо середина отрезка окажется корнем уравнения, либо получится отрезок такой, чтоЗа приближенное значение корня следует взятьпри этом

2. Метод хорд

Суть метода хорд состоит в том, что дуга кривой заменяется стягивающей ее хордой и за приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения хорды с осьюOx.

Если на(при этомна), то

(33.16)

Если на(при этомна), то

Для оценки погрешности метода хорд можно пользоваться формулой (33.15). Можно также применить формулу:

если выполняется условие

(33.17)

где

3. Метод Ньютона (метод касательных)

Суть метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к ней и за приближенное значение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осьюOx. Уточнение корня производится по формуле

(33.18)

причем еслина;

если на

Для оценки погрешности метода Ньютона можно пользоваться формулой (33.15).

4. Комбинированный метод хорд и касательных

Метод заключается в последовательном применении метода хорд и метода Ньютона (метода касательных).

Если на, то

где

Если нато

где

Процесс вычислений прекратится, как только будет выполнено неравенство За приближенное значение корня следует принятьгдеи– приближенные значения корня соответственно с недостатком и с избытком.

Пример 1. Методом половинного деления найти корни уравнения с точностью до

Решение. Поскольку при то очевидно, что на отрезке находится единственный действительный корень данного уравнения.

Чтобы уточнить искомый корень уравнения методом половинного деления, составим следующую таблицу:

					Знаки функции
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 0,5 0,5 0,625 0,625 0,656 0,672 0,68 0,68 0,682 0,682	1 1 0,75 0,75 0,688 0,688 0,688 0,688 0,684 0,684 0,683	0,5 0,75 0,625 0,6875 0,6565 0,672 0,68 0,684 0,682 0,683 0,6825	–0,375 0,171875 –0,13085… 0,01245… –0,06055… –0,02453… –0,005568 0,00401… –0,00078… 0,00161…	– – – – – – – – – –	– + – + – – – + – +	+ + + + + + + + + +

Поскольку то требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно,

Пример 2. Методом хорд найти больший положительный корень уравнения с точностью до

Решение. Отделим корни уравнения аналитически. Находим

Составим таблицу знаков функции

			2
	–	+	–	+

Итак, уравнение имеет три действительных корня:

Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1:

	–2	–1	0	1	3	4
	–	+	+	–	–	+

Значит,

Уточним больший положительный корень заданного уравнения методом хорд. Проверим выполнимость условия (33.17):

Условие (33.17) не выполняется. Уменьшим отрезок, содержащий корень. Возьмем середину отрезка т. е. точкуТак както кореньСнова проверим выполнимость условия (33.17):

Определим, по какой из формул нужно производить вычисления. В данном случае имеем приЗначит, вычисления нужно вести по формуле (33.16), где х₀ = 3;

Составим следующую таблицу:

0 1 2 3 4 5 6	3 3,1356 3,1595 3,1635 3,1641 3,1642 3,16424…	–2 –0,37719… –0,06336… –0,01000… –0,00197… –0,00064…	0,135593… 0,023895… 0,003967… 0,000625… 0,000123… 0,000040…

Так как то требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно, больший положительный корень

Пример 3. Методом Ньютона найти корни уравнения с точностью до

Решение. Отделим корни уравнения графически. Представим данное уравнение в виде и рассмотрим графики двух функций:и(рис. 33.1).

Рис. 33.1

Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке, абсцисса которой принадлежит отрезку Таким образом, единственный кореньуравнения находится на отрезкепричем

Имеем приПоэтому, чтобы воспользоваться методом Ньютона, следует выбратьВычисления будем вести по формуле (33.18), где

Составим таблицу:

0 1 2 3	1 0,684 0,577 0,567	1,71828… 0,35554… 0,02745… –0,00039…	5,43656… 3,33733… 2,80814…	–0,31606… –0,10653… –0,00977…

Воспользовавшись формулой (33.15), найдем

Тогда из неравенства

следует, что Так както требуемая точность вычислений достигнута. Следовательно,