1.3. Замкнутые и разомкнутые гдс

Замкнутой называется ГДС, полностью изолированная отокружающей среды и не имеющая с ней никакого взаимодействия. Поведение и состояние замкнутой ГДС можно описать с помощью уравнения, которое в матричной форме имеет вид [15]

где Y — полная матрица гиперкомплексных взаимодействий; φ — матрица гиперпотенциалов.

В общем случае Y и φ — гиперкомплексные матрицы, свойства и порядок построения которых показаны в параграфе 1.10.

Наличие нуля в правой части (1.7) свидетельствует об отсутствии внешних воздействий на системуS, состояние которой описано уравнением (1.7). В простейшем случае (вырождение гиперкомплексной матрицы в обычную квадратную матрицу, заполненную по ГДС-методике) уравнение (1.7) при полном отображении матриц для ГДС с тремя элементами имеет вид

Переход от(1.8) к (1.7) очевиден. В виде системы уравнений матрицу (1.8) можно записать так:

В(1.8) и (1.9) величины типау_пт — это взаимодействия элемента п с элементом т в направлении от п к т. На главной диагонали в (1.8) стоят единицы, наличие которых свидетельствует о том, есть или нет соответствующий элемент в системе. Например, единица, стоящая на пересечении п-го столбца и п-й строки, свидетельствует о наличии элемента п в системе S, описываемой данной матрицей. Порядок матрицы Y определяется числом элементов в системе на всех ее иерархических уровнях и может быть записан в виде многомерного числа N:

где N — порядок матрицы Y; α — число элементов на высшем иерархическом уровне; β, γ — число элементов на более низких иерархических уровнях.

МатрицаY может быть разложена на составляющие Y₁ (симметрическая составляющая) и У₂ (кососимметрическая) — по правилам [8, 51]:

где P₁^(N) и P₂^(N) —операторы разложения для симметрической и кососимметрической составляющих соответственно; (N) — указатель иерархического уровня в гиперкомплексной матрице, на которой должна проводиться операция разложения; Y^T — транспонированная исходная матрица.

Процедура (1.13) позволяет выделить из Y матрицу гиперкомплексного гиратора Y₂, являющегося ядром любого устойчиво существующего объекта, процесса или явления, рассматриваемого как система в границах теории ГДС.

Разомкнутой называется ГДС, которая взаимодействует с окружающей средой (имеет внешнее воздействие — I). Ее уравнение в матричной форме имеет вид

Понятия замкнутой и разомкнутой ГДС взаимообусловлены и всегдаотносительны: в определенных условиях часть замкнутой ГДС может быть представлена как самостоятельная разомкнутая ГДС. С учетом этого полная система уравнений, описывающая ГДС со сложной внутренней структурой, имеет вид [15]

В (1.15) первое уравнение описывает состояние сложной замкнутой ГДС, рассматриваемой в целом, второе — это условие существования для первого уравнения, третье описывает состояние разомкнутой ГДС, входящей в качестве элемента в исходную замкнутую ГДС, четвертое — условие существования для третьего уравнения.

Замкнутость как понятие является одной из основных системных характеристик (инвариант), может иметь разноаспектные толкования в процессе ГДС-анализа и широко применяется для отображения многочисленных свойств и особенностей в исследуемых объектах и явлениях, в том числе при изучении и описании деятельностных процессов.

Наиболее часто на практике используются понятия полноты замкнутости, полноты определения (методическая и логическая замкнутость), которые говорят о степени соответствия исследуемых объектов (их свойств, моделей, определений) идеальным, заранее определенным эталонам. Полнота замкнутости может быть определена однозначно, записана символически или оценена числом [15, 26]. Например, может быть исследована полнота определения системной модели: по заданному идеальному эталону системы можно определить в абсолютных или относительных единицах степень соответствия реальной (полученной на практике) и идеальной (эталонной) системных моделей. В частности, таким идеальным эталоном может быть выражение (1.2), а реальной моделью — эмпирическое приближение к эталону. Оценка их взаимосоответствия даст искомую полноту определения.