Лекція 8

Векторні простори

§1. Основні поняття а) Означення

Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αх кожного її елемента х на будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:

1. 

2. 

3. 0 – називають нульовим елементом.

4. –х називають елементом, протилежним до х.

5. 1·х=х.

6. 

7. 

8. 

Елементи векторного простору називають векторами.

Приклади векторних просторів.

1. Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами.

2. Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь.

3. Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.

Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором.

Із означення векторного простору випливають наступні властивості.

1. Єдиність нуля.

Якщо припустити існування двох нульових елементів 0₁ і 0₂, то із 0₁+0₂=0₁ та 0₂+0₁=0₂ і того, що 0₁+0₂=0₂+0₁, випливає 0₁=0₂.

2. Єдиність протилежного елемента.

Якщо припустити існування двох протилежних до х елементів y та z, таких, що х+у=0 і х+z=0, то із

y+x+z=y+(x+z)=y+0=y та

y+x+z=(y+x)+z=0+z=z

випливає y=z.

3. 

Дійсно, Додавши до обох частин рівностіотримаємо

4. 

Дійсно, Додавши до обох частин рівностіотримаємо

5. Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0.

Дійсно, якщо то

6. є протилежним до х.

Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.

Б) Розмірність і базис

Вектори а₁, а₂,…,а_k векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа одночасно не рівні нулю, що

В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними.

Якщо вектори а₁,а₂,…,а_k лінійно залежні, тобто , і, наприклад,то

тобто

де

Це означає, що вектор а_k є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а₁, а₂,…,а_k лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження.

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а₁, а₂,…,а_k називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а₁, а₂,…,а_k}.

Довільна матриця містить дві системи векторів:

систему векторів – рядків {а₁,а₂,…,а_m} і систему векторів – стовпчиків

, де а_і=(а_і1,а_і2,…,а_іп), і=1,2,…,m, ,j=1,2,…,n.

Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A).

Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці.

Приклад.

Знайти ранг матриці.

.

Розвязання.

Зведемо матрицю А до ступінчастого вигляду з допомогою елементарних перетворень її рядків:

Отже, r(A)=3.

Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV

(від dimage-фр).

Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними.

Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо:

1. вона лінійно незалежна;

2. кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентамиабокоординатамивектора за цим базисом.

В заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно.

Дійсно, при двох заданнях вектора х в базисі а₁,а₂,…,а_k, зокрема, та, отримаємоОскільки всі коефіцієнти(бо системаа₁, а₂,…,а_k лінійно незалежна), то

В п-вимірному просторі кожна впорядкована лінійно незалежна система із п лінійно незалежних векторів є базисом. Ясно, що в п-вимірному просторі кожну впорядковану лінійно незалежну систему із k<n векторів можна доповнити до базису.

Розглянемо в просторі V два базиси: е=(е₁,е₂,…,е_п) та (перший з них назвемо старим, а другий – новим). Виразимо кожний вектор нового базису через вектори старого базису:

Можна сказати, що нові базисні вектори виражаються через старі з допомогою матриці

стовпчикамиякої є коефіцієнти їх розкладу за векторами старого базису. МатрицяАназиваєтьсяматрицеюпереходувід базисуе до базису. Матриця переходу є невиродженою, оскільки в іншому випадку її стовпчики, а, отже, і вектори, були б лінійно залежними.

Розглянемо зв’язок між координатами одного і того ж вектора в старому і новому базисах.

Нехай х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п і

Підставивiи замістьїх вирази черезе₁,е₂,…,е_п, отримаємо

Із єдиності розкладу вектора хза базисоме₁,е₂,…,е_п, випливає

звідки.

Таким чином, старі координати вектора отримуються із нових з допомогою тієї ж матриці А, тільки коефіцієнти відповідних розкладів утворюють рядкицієї матриці.

Приклад.

Нехай е₁, е₂– одиничні вектори, розташовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат. Повернемо осі координат на кутφпроти годинникової стрілки і позначимо нові базисні вектори черезта. Кути, утворені векторомз векторамие₁ іе₂, рівні відповідноφ і

(див. малюнок). Тому координати цього вектора в базисі е₁, е₂ рівніізначить,. Аналогічно, кути вектораз векторамие₁ іе₂рівні відповідноіφ, тому координати його в базисі

е₁, е₂рівніі, значить,

e₂

φ φ

e₁

Таким чином, матриця переходу від базису е₁, е₂до базису,матиме вигляд

Тоді старі координати виражаються через нові так:

звідки

в) Підпростори векторного простору

Підпросторомвекторного просторуVназивається сукупністьV₁його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених вVоперацій додавання і множення на число.

Для встановлення того, що деяка підмножина V₁векторного просторуVє його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторівхтауізV₁їх сумах+утеж належитьV₁, і що для довільного вектораі довільногодобутоктеж належитьV₁. Це твердження випливає із аксіом 1, 2, 5-8 векторного простору.

Приклади.

У звичайному тривимірному векторному просторі підпросторами є всі площини і всі прямі, які проходять через початок координат.

Сам простір Vі множина із одного нульового елемента теж є підпросторами просторуV(тривіальними).

Перетиномдвох підпросторівV₁іV₂векторного просторуVназивається множина всеможливих векторів ізV, що належить одночасно і V₁, іV₂. Перетин теж є підпростором і позначається

Сумоюдвох підпросторівV₁іV₂називається множина векторів виглядудеСума теж є підпростором і позначаєтьсяV₁+V₂.

Теорема. Якщо V₁ і V₂ – підпростори векторного простору V, то

Доведення.

В підпросторі виберемо довільний базисе₁, е₂,…, е_kі доповнимо його до базисуV₁з одного боку:

е₁, е₂,…,е_k, f_k+1,…,f_p(*1)

і до базису V₂з другого боку:

е₁, е₂,…,е_k, g_k+1,…,g_s(*2).

Покажемо , що вектори е₁, е₂,…,е_k, f_k+1,…,f_p, g_k+1,…,g_sлінійно незалежні.

Припустимо, що ці вектори лінійно залежні:

Тоді вектор

належить одночасно і V₁, іV₂, а, значить, і їх перетинуАле тоді він повинен лінійно виражатись через базисні вектори підпростору:

тобто

.

Звідси і з єдиності розкладу вектора аза базисом просторуV₁маємо

Тоді матимемо

звідки, із лінійної незалежності базисних векторів простору V₂маємо

Отже, вектори е₁, е₂,…,е_k,f_k+1,…, f_p, g_k+1,…,g_sутворюють лінійно незалежну систему. Але тоді вони утворюють базис просторуV₁+ V₂, оскільки, якщо вектортоz=x+y, деі, значить,хлінійно виражається через (*1), ау– через (*2). Але тоді векторzлінійно виражається через вектори

е₁, е₂,…, е_k, f_k+1,…, f_p, g_k+1,…,g_s.

Таким чином, розмірність підпростору V₁+ V₂дорівнює

k+(p-k)+(s-k)=p+s-k.

Але dimV₁=p, dimV₂=s, Тоді

dimV₁+dimV₂=p+sі

що й треба довести.