Лекція 4

Многочлени

§1. Многочлени від однієї змінної Кільце многочленів

Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, де n – довільне ціле невід’ємне число, a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ – елементи цілісного кільця R, x, x²,…, x^n-1, xⁿ – деякі символи.

х^k називають k-м степенем змінної (невідомого) х, a_k – k-м коефіцієнтом многочлена, a_kx^k – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a₀ називають ще вільним членом.

Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].

Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степ інь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь).

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня x^k, називають канонічною. Елемент a₀ називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ , a_iR, i = 0, 1,…, n,

g(x) = b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀, b_jR, j = 0,1,…, m.

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

.

Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

де приi›n, приj›m.

Приклад.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів зводиться до виконання аналогічних операцій над їх коефіцієнтами, які є елементами деякого цілісного кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже,R[x] – комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо тоякщотоОтжемає старший коефіцієнт(оскільки вR немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином,R[x] – цілісне кільце.▲

§2. Подільність многочленів а) Ділення з остачею

Для розгляду теорії подільності многочленів від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами , поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поляР позначають тепер P[x].

Два різні многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.

Вважається, що многочлен ділиться з остачею на многочлен, якщо вP[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому абоr(x)=0, або deg r<deg g.

Теорема (про ділення з остачею).

Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею на будь-який ненульовий многочлен з цього кільця.

Доведення.

Встановимо можливість ділення з остачею. Нехай

Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0.

Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).

Нехай nm. Виконаємо доведення методом індукції за n.

При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a₀, g(x)=b₀≠0, тому s(x)=, r(x)=0. Ясно, що s(x)P[x], бо P (ось де потрібна була заміна R на Р, здійснена на початку параграфа).

Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо многочлен р(х)=f(x)– Cтарші члени обох многочленів справа є рівними а_nхⁿ, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції, p(x) ділиться з остачею на g(x):

p(x)=g(x)·s₁(x)+r₁(x), де s₁(x),r₁(x) P[x], r₁(x)=0 або deg r₁<deg g.

Звідси

f(x) - = g(x)·s₁(x)+r₁(x), тобто

f(x)=g(x)·s(x)+r(x),

де r(x)=r₁(x)P[x], s(x)=s₁(x),

причому r(x)=0 або deg r<deg g.

Можливість ділення f(x) на g(x) з остачею доведена.

Покажемо єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:

f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), deg r<deg g ;

f(x)=g(x)∙s^*(x)+r^*(x), deg r^*<deg g.

Віднімемо рівності : g(x)[s(x) – s^*(x)]=r^*(x) – r(x).

За умовою g(x)0. Якщо б r(x)r^*(x), то й s(x)s^*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r^*(x). Але тоді і s(x)=s^*(x). Таким чином, частка і остача єдині.▲

Наслідок. Кільце P[x] многочленів над полем Р є евклідовим.

На практиці ділення многочленів здійснюють відомим способом „ ділення кутом ”, в основі якого лежить метод, використаний при доведенні теореми про ділення з остачею.

Оскільки частка s(x) і остача r(x) визначаються однозначно, то для їх знаходження можна користуватися і методом невизначених коефіцієнтів, який ґрунтується на прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях x в лівій і правій частині рівності f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), де s(x) шукають у вигляді многочлена із невизначеними коефіцієнтами степеня n–m , а r(x) – степеня m-1.

Приклад.

Поділити f(x) на g(x) і знайти s(x) та r(x):

f(x)=x⁴-2x³+x-1 , g(x)=x²-2.

1) Ділення кутом:

_x4–2x3 +x –1					x2–2
x4 –2x2					x2–2x+2
					_–2x3+2x2
					–2x3 +4x
							_2x2–3x 2x2 –4
		–3x+3

Отже, s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3.

2) Ділення методом невизначених коефіцієнтів:

x⁴–2x³+x–1=(x²–2)(A₂x²+A₁x+A₀)+(B₁x+B₀)

Отже, s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3.