Б) Метод Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь

Розглянемо системуп лінійних рівнянь зпневідомими, визначникd якої відмінний від нуля. Доведемо, що така система сумісна і визначена, і знайдемо формули для знаходження її єдиного розв’язку.

Припустимо, що наша система сумісна. Нехай – деякий її розв’язок. Тоді виконуються рівності:

Помножимо першу з рівностей на алгебраїчне доповнення А_1jелементаa_1j у визначнику системи, другу – на алгебраїчне доповненняA_2jі т. д., нарешті, останню з рівностей – наA_nj( j=1,2,..,n ),потім всі отримані рівності додамо. В результаті дістанемо таку рівність:

В записаній рівності всі коефіцієнти біля дорівнюють визначнику α матриці системи ( теорема 6.1 ), а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю ( теорема 6.2 ). Вираз у правій частині є розкладом визначника

за елементами j-го стовпчика, тобто є визначникомd_j, який утворено з визначникаdзаданої системи рівнянь заміною йогоj-го стовпчика стовпчиком вільних членів. Тому отримана вище рівність запишеться так:

( j=1,2,…,n ).Звідси, оскількиd≠0 за умовою, отримаємо

Отже, якщо задана система плінійних рівнянь зпневідомими сумісна. То вона має єдиний розв’язок

.

Таким чином, задана система або має єдиний розв’язок , або зовсім не має розв’язків. Тому для з’ясування питання про сумісність даної системи досить тільки з’ясувати, чи задовольняє система чиселзадану систему рівнянь. Для перевірки підставимо числав праву частинуі-го рівнянння(і=1,2,…,п).

(оскільки ).

Отже, множина чисел є розв’язком кожногоі-го рівняння(і=1,2,…,п) системи, а, значить, і самої системи.

Таким чином, доведено теорему:

Якщо визначник d системи n лінійних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок: , де – визначник, отриманий із визначника d заміною його і-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Отримані формули розв’язку називають формулами Крамера, а саму теорему – правилом Крамера.

Наслідок. Система n лінійних однорідних рівнянь з п невідомими тоді і тільки тоді має розв’язки, відмінні від нульового, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.

Дійсно, якби визначник однорідної системи лінійних рівнянь був відмінним від нуля, то ця система мала б єдиний нульовий розвязок, що суперечить умові.

Навпаки, якщо визначник системи дорівнює нулю, то ступінчаста матриця цієї системи прівнянь зпневідомими має хоча б один нульовий рядок, а, значить, кількість рівнянь у відповідній ступінчастій системі менша за число невідомих, звідки випливає існування вільних невідомих і, отже, нескінченної кількості розв’язків, в тому числі і відмінних від нульового.

Правило Крамера пов’язане з громіздкими обчисленнями, але в тих випадках, коли воно застосовне, є можливість виразити всі компоненти розв’язку системи рівнянь через її коефіцієнти і вільні члени.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання.

Оскільки d0, то застосуємо правило Крамера:

Отже,

Розв’язок: (-1;0;1;2).

В) Матричний метод розв’язування систем лінійних рівнянь Поняття оберненої матриці

Матриця А^-1 називається оберненою для квадратної матриціА, якщоАА^-1=А^-1А=Е. ТутЕ– одинична матриця.

Виберемо довільну матрицю А п-гопорядку:

Утворимо матрицю , елементами якої є алгебраїчні доповненняA_ij до відповідних елементіва_ijматриці, транспонованої до матриціА:

Матрицю називаютьвзаємною(приєднаною) для матриціА. За правилом множення матриць отримаємо:

Матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, івиродженою, якщо дорівнює нулю.

Відомо, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, тому із останнього виразу випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємна їй матриця А^* теж буде невиродженою, причому

Дійсно, звідки приі випливає сформульоване твердження. Тому ізАА^-1=ЕвипливаєЦе означає, що обернена матрицяА^-1існує тільки для невиродженої матриціА, бо в іншому випадку не буде виконуватись остання рівність.

Для довільної невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матрицяА^-1.

Дійсно, якби існувала ще одна матриця А₁, обернена доА, тобто така, що

АА₁=А₁А=Е, то

А₁АА^-1=(А₁А)А^-1=ЕА^-1=А^-1,

А₁АА^-1=А1(АА^-1)=А₁Е=А₁,

звідки А₁=А^-1.

Із випливаєтобто

Загальний вигляд оберненої матриці до А:

Якщо матриця А невироджена, то кожне з рівняньАХ=ВтаУА=Вмає розв’язки:

Х=А^-1В, У=ВА^-1.

Приклад 1.

Знайти матрицю, обернену до матриці:

Розв’язання.

Отже, обернена А^-1існує:

А₁₁=5, А₁₂=10, А₁₃=0,

А₂₁=4, А₂₂=12, А₂₃=1,

А₃₁=-1, А₃₂=-3, А₃₃=1.

Приклад 2.

Розвязати рівняння АХ=ВіУА=В, якщо

Розв’язання.

Матриця А^-1невироджена і рівнаТому