lekcii / lec3

Лекція 3

Комплексні числа

1.Основні поняття

Протягом всього курсу алгебри декілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Зокрема, множина Z цілих чисел була розширена множиною Q раціональних чисел, та, в свою чергу, множиною R дійсних чисел. Необхідність таких розширень грунтується на відсутності в попередніх множинах розв’язків певних типів рівнянь. Так, в першому випадку це були, наприклад, рівняння ax=b, де а,bZ, в другому – рівняння axⁿ=b, де a,bQ, nN. Ще один тип рівнянь, зокрема, х²+1=0, змушує розширити множину дійсних чисел, оскільки в ній коренів цього рівняння не існує.

В ролі елементів нової множини чисел виберемо точки площини. Нехай на площині вибрана прямокутна система координат. Точки площини позначатимемо буквами α,β,γ,… і записуватимемо точку α з абсцисою а і ординатою b через α = (a,b).

Сумою точок α = (a,b) і β = (c,d) назвемо точку α+β з абсцисою а+с і ординатою b+d, тобто

α+β = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d).

Добутком цих же точок назвемо точку α·β з абсцисою ас-bd і ординатою ad+dc, тобто

α·β = (a,b)·(c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Пряма перевірка підтверджує, що множина точок площини із вибраними таким чином операціями додавання і множення утворює поле. Це числове поле (в якому числа зображаються точками площини) названо полем комплексних чисел. Якщо точці (а,0) осі абсцис поставити у відповідність дійсне число а, то отримається взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм) між точками осі абсцис і множиною дійсних чисел, причому операції додавання і множення точок осі абсцис і дійсних чисел аналогічні.

(а,0)+(b,0) = (a+b,0),

(а,0)·(b,0) = (ab,0).

Тому не розрізнятимемо точку (а,0) та дійсне число а і вважатимемо (а,0) = а. Отже, поле комплексних чисел містить підмножину точок осі абсцис, ізоморфну полю дійсних чисел, тобто є його розширенням.

Покажемо, що це розширення містить корені рівняння х²+1=0, тобто елемент, квадрат якого рівний -1. Розглянемо точку (0,1), яка лежить на осі ординат на відстані 1 вгору від початку координат, і знайдемо її квадрат: (0,1)·(0,1) = (-1,0) = -1. Позначають точку (0,1) буквою і. Отже, і² = -1.

Отримаємо для побудованих комплексних чисел звичайний запис:

(a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b·(0,1) = a+bi.

Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.

В записі комплексного числа число а називають його дійсною частиною (позначають Reα), а число bi – його уявною частиною (позначають Imα).

Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, названа комплексною площиною, вісь абсцис – дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Число = a-bi, яке відрізняється від = a+bi тільки знаком при уявній частині, називається числом, спряженим з . Геометрично спряжені числа є точками, розміщеними симетрично відносно дійсної осі.

-bi

a

bi

§2. Дії над комплексними числами

1. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

2. (a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i.

3. (a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad+ bc)i.

4. = = + i.

5. = .

6. = +.

7. = - .

8. = ·.

9. = . Доведення всіх формул здійснюється безпосередньо.

+

α = a+bi,

β = c+di.

0

с

а

d

b

Із малюнка видно, що додавання комплексних чисел геометрично здійснюється за правилом паралелограма (аналогічно віднімання – за правилом трикутника).

Оскільки комплексні числа розміщені не на одній прямій, то їх не можна впорядкувати з допомогою понять “більше” і “менше”, тому поле комплексних чисел невпорядковане.

в) Тригонометрична форма комплексного числа

Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а, b (α=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом  між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.

0



b

α

r

a

Число r називають модулем числа (позначається ), а кут  - аргументом числа (позначається arg). Зв’язок між декартовими та полярними координатами має вигляд: a = rcos, b = rsin.

Звідси r = .

Запис числа α в полярних координатах є таким:

α = a+bi = rcos+(rsin)i, тобто

α = r(cos+isin).

Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

Приклад.

Число α = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:

α = (cos+isin).

Знайдемо добуток двох комплексних чисел α = r (cos+isin) та

β = .

Отже: , тобто

модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників;

, тобто

аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.

Аналогічні правила мають місце і для частки . Нехай β ≠ 0.

звідки випливає, що

модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника,

аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Із того, що 1=1+і∙0=cos0+isin0, і при α=r(cos+isin)≠ 0 отримаємо

α^-1=r^-1[cos(-)+isin(-)].

§3. Піднесення до степеня і добування кореня

а) Піднесення до степеня

При цілому додатньому n для числа, поданого в тригонометричній

формі, має місце так звана формула Муавра піднесення його до степеня:

тобто при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до цього степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Доводиться формула Муавра методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел. Із припущення правильності формули для n=k, тобто

розглянемо випадок n=k+1:

що і треба було довести.▲

Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа , тригонометрична форма якого відома:

.

Приклад.

б) Добування кореня

Розглянемо тепер добування кореня n-го степеня із комплексного числа Це означає, що потрібно знайти таке комплексне число , що .

Згідно формули Муавра ()ⁿ = r, звідки

,

де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кути та  можуть відрізнятися на ціле кратне , то = +k, звідки

.

Таким чином,

,

де k = 0,1,2,…, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюва-тись).

Кут можна записати і так: , де k=0,1,2,…, n-1.

Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа α завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в нулі і ділять коло на n рівних частин.

в) Корені з одиниці

Випадок добування кореня n-го степеня із числа 1 є особливо важливим. Оскільки 1=cos0+isin0, то

, k = 0,1,2,…,n-1.

На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0).

Приклад.

має два значення: 1 і -1. має три значення: . має чотири значення: 1, і, -1, -і.

Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа α можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці.

Дійсно, якщо β – одне із значень , тобто =α, а - довільне значення , тобто , то , тобто теж буде одним із значень для . Множачи β на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з α.

Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо і , то

Число, обернене до кореня n-го степеня з 1, само є коренем n-го степеня з одиниці. Дійсно, якщо , то із випливає , тобто .

Із цих двох тверджень випливає, що довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці.

Згідно формули Муавра, .

Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первісними коренями n-го степеня з одиниці.

Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го степеня, коли (k,n)=1. Це означає, що первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і .

Доведемо сформульоване твердження. Позначимо (k,n) = d.

Нехай d>1. Тоді , , звідки , тобто корінь виявився коренем -го степеня із одиниці.

Нехай d=1 і нехай є коренем m-го степеня із одиниці, де 1≤ m < n.

Тоді . Оскільки – первісний корінь n-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню.▲

Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.

6