Лекція 2

Принцип математичної індукції. Підстановки.

Основні алгебраїчні структури

§1. Принцип математичної індукції

Аксіома математичної індукції

Нехай А – множина натуральних чисел, яка має такі властивості:

1. 

2. Якщо натуральне число k належить до А, то й наcтупне число належить доА.

Тоді до А належать всі натуральні числа.

Принцип математичної індукції (основна форма)

Якщо деяке твердження Т правильне для числа 1 і якщо із припущення, що воно правильне для натурального числа k, випливає його правильність і для наступного числа , то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа n.

Доведення.

Дійсно, нехай А – множина всіх натуральних чисел, для кожного із яких твердження Т правильне. За умовою теореми , і якщо, то і наступне число. Отже, згідно аксіоми індукції множинаА збігається з множиною всіх натуральних чисел. Таким чином, твердження Т виконується для будь-якого натурального числа.

Отже, щоб довести справедливість якогось твердження для довільного натурального числа п методом математичної індукції, треба:

1) довести, що це твердження справедливе для п=1;

2) припустивши справедливість даного твердження для n=k, довести його справедливість для

Іноді розглядуване твердження не має змісту, або неправильне при п=1, але стає справедливим при , або взагалі при. В цьому випадку використовується інша форма принципу математичної індукції.

Узагальнення основної форми принципу математичної індукції

Якщо деяке твердження Т правильне для певного натурального числа і якщо з припущення, що воно правильне для натурального числа , випливає його правильність і для наступного числа , то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа n.

Друга форма принципу математичної індукції

Якщо деяке твердження Т правильне для 1 і якщо з припущення, що воно правильне для всіх натуральних чисел, менших ніж k, випливає його правильність і для числа k, то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа п.

Узагальнення другої форми принципу математичної індукції

Якщо деяке твердження Т правильне для натурального числа і якщо з припущення, що воно правильне для всіх натуральних чисел, менших k, випливає його правильність і для числа k, то твердження Т правильне для будь-якого натурального числа.

§2. Підстановки а) Перестановки

Всяке розташування чисел 1,2,…,n в деякому визначеному порядку називається перестановкою із n чисел (чи n символів).

Якщо в деякій перестановці поміняти місцями якісь два символи (необов’язково сусідні), а всі решту символи залишити на місці, то отримається нова перестановка. Таке перетворення перестановки називається транспозицією.

Вважається, що числа i та j утворюють в даній перестановці інверсію, якщо i>j, але i знаходиться в цій перестановці раніше за j. Перестановка називається парною, якщо її символи утворюють парну кількість інверсій, і непарною – в протилежному випадку. Наприклад, перестановка (2,3,1,4,5) є парною (дві інверсії), а (2,3,1,5,4) – непарною (три інверсії).

Властивості:

1. Кількість різних перестановок із n символів дорівнює добутку 1·2·…·n = n!

Дійсно, загальний вигляд перестановки із n символів є i₁,i₂,…,i_n, де кожне із i_k є одним із чисел 1,2,…,n, причому жодне з чисел не зустрічається двічі. В ролі i₁ можна взяти довільне із чисел 1,2,…,n. Це дасть n різних варіантів. Якщо ж i₁ вже вибрано, то в ролі i₂ можна взяти тільки n-1 із чисел, що залишилися. Тоді кількість різних способів вибрати символи i₁ та i₂ дорівнюватиме n(n-1). Далі аналогічні міркування. ▲

2. Від довільної перестановки із n символів можна перейти до будь-якої іншої перестановки із тих же елементів з допомогою декількох транспозицій.

Ця властивість, очевидно, випливає із того, що всі n! перестановок із символів можна розмістити в такому порядку, що кожна наступна отримана із попередньої однією транспозицією, причому починати можна з довільної перестановки. ▲

3. Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Якщо транспоновані символи i та j є сусідніми, тобто перестановка має вигляд …, i,j,…, то в результаті транспозиції отримаємо перестановку …, j,i,…,

в якій символи i та j утворюють із нерухомими символами ті ж інверсії, що й у попередній. Від переставляння символів i та j кількість інверсій зміниться на одну (якщо інверсії не було, то з’явиться, якщо ж була, то зникне), що і змінить парність перестановки.

Якщо ж між транспонованими символами i та j розміщені s символів, тобто перестановка має вигляд …,i,k₁,k₂,…,k_s,j,…, то транспозицію символів i та j можна отримати в результаті 2s+1 транспозицій сусідніх елементів (s для переміщення i на місце k_s, 1 для переставлення місцями і та j, s для переміщення j з позиції k_s на місце i), після чого утвориться перестановка …,j,k₁,k₂,…,k_s,i,… , яка матиме протилежну парність до початкової.

4. При n2 кількість парних перестановок із n символів дорівнює кількості непарних, тобто дорівнює n!

Дійсно, якщо впорядкувати усі перестановки із n символів так, що кожна

отримується із попередньої однією транспозицією, то сусідні перестановки матимуть протилежні парності, а число n! парне.