Але тоді і

,

тобто

Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Розглянемо одновимірні інваріантні підпростори. Якщо V₁ – такий підпростір і , то і, і, значить,Ах=αх. Якщо у – будь-який інший вектор із V₁, то

у=αх і Ау=А(αх)=α(λх)=λ(αх)=λу.

Вектор називаєтьсявласним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число λ, що Ах=λх. Число λ називається власним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.

Очевидно, що якщо V₁ – одновимірний інваріантний підпростір

простору V,то кожний вектор із V₁ є власним вектором перетворення А, причому з одним і тим же власним значенням. Навпаки, якщо х – власний вектор перетворення А, то породжений ним інваріантний підпростір V₁ (що складається із всіх векторів вигляду αх) буде інваріантним відносно А.

Припустимо, що лінійне перетворення А має п лінійно незалежних власних векторів е₁, е₂, …, е_п із відповідними власними значеннями λ₁,λ₂,…,λ_п. Якщо власні вектори е₁, е₂, …, е_п прийняти за базисні, то із рівностей Ае₁=λ₁е₁, Ае₂=λ₂е₂,…, Ае_п=λ_пе_п матриця перетворення А матиме вигляд:

(така матриця називається діагональною). Ясно, що правильне і зворотне: якщо матриця перетворення А в деякому базисі є діагональною, то всі вектори цього базису будуть власними векторами перетворення А.

Теорема1. Власні вектори лінійного перетворення А, що відповідають попарно

різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення.

Доведення проведемо індукцією за кількістю власних векторів. Для одного вектора х це ясно, оскільки, за означенням власного вектора, він відмінний від нуля і, значить, із рівності αх=0 випливає, що α=0.

Нехай твердження теореми справедливе для k-1 векторів х₁,х₂,…,х_k-1. Припустимо, що k власних векторів х₁,х₂,…,х_k, які відповідають попарно різним власним значенням λ₁,λ₂,…,λ_k, є лінійно залежними:

α₁х₁+α₂х₂+…+α_kx_k=0, ()

де не всі α_і (і=1,2,…,п) рівні нулю. Застосувавши до обох частин рівності перетворення А, отримаємо

α₁Ах₁+α₂Ах₂+…+α_kАx_k=α₁λ₁х₁+α₂λ₂х₂+…+α_kλ_kx_k=0.

З другого боку, помноживши передостанню рівність на λ_k, матимемо

α₁λ₁х₁+α₂λ₂х₂+…+α_kλ_kx_k=0.

Віднявши дві останні рівності, отримаємо

α₁(λ₁-λ_k)x₁+α₂(λ₂-λ_k)x₂+…+α_k-1(λ_k-1-λ_k)x_k-1=0,

звідки із припущення лінійної незалежності х₁,х₂,…,х_k-1 випливає

α₁=α₂=…=α_k-1=0.

Тоді із рівності () матимемо α_kx_k=0 і α_k=0. Отже, припущення невірне.▲

Розглянемо питання знаходження власних значень і власних векторів лінійного перетворення.

Припустимо, що х – власний вектор, а λ – відповідне йому власне значення лінійного перетворення А. Тоді Ах=λх. Виберемо в просторі V довільний базис е={e₁,e₂,…,e_n}, і нехай х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п, а матриця лінійного перетворення А у вибраному базисі має вигляд

Тоді із пункту а) випливає:

Ах=(а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п)е₁+(а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п)е₂+…+(а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п)е_п=

=λх=λ(х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п)= λ х₁е₁+ λ х₂е₂+...+ λ х_пе_п .

Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,…,enвипливає:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п=λх₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п=λх₂,

………………………………

а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п=λх_п,

звідки:

Для існування ненульового розв’язку цієї однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:

Ліва частина останньої рівності являє собою многочлен п-го степеня відносноλ, який називаєтьсяхарактеристичниммногочленомперетворенняАв базисіе. Він є визначником матриціА-λЕ.

Таким чином, доведено, що кожне власне значення перетворення А є коренем його характеристичного многочлена. І навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена перетворення А буде його власним значенням (відповідні власні вектори знаходяться із останньої системи, яка в даному випадку рівності визначника нулю обов’язково має ненульові розв’язки).

Теорема 2. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить

від вибору базису.

Доведення.

Характеристичний многочлен перетворення А в базисі е нехай буде Нехай новий базисутворюється із старого за допомогою матриці С. Тоді характеристичний многочлен перетворенняА в базисі має вигляд:

▲

Запишемо характеристичний многочлен перетворення А:

Видно, що α₁=а₁₁+а₂₂+...+а_пп, тобто дорівнює сумі діагональних елементів матриці А (ця сума називається слідом матриці А). З другого боку,

є визначником матриці А. Звідси випливає, що для того, щоб перетворення А було невиродженим, необхідно і достатньо, щоб було відмінне від нуля, тобто щоб перетворення А не мало нульових власних значень.

Приклад.

Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення А з матрицею

Розв’язання. Характеристичний многочлен матриці А має вигляд:

Коренями характеристичного многочлена є власні значення перетворення А: λ₁=6, λ₂= -1.

Власні вектори знаходять із системи рівнянь:

а) λ₁=6. тому в ролі власного вектора

можна взяти вектор f₁=(2;5) або кратний йому;

б) λ₂=-1. тому в ролі власного вектора

можна взяти вектор f₂=(1;-1) або кратний йому.

17