Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodychka

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

413.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>


19.	S : x2 + y2		− z2	+ xz + 4y = 4,			M0(1, 1, 2).
20.	S : x2 − y2		− z2	+ xz + 4x = −5,			M0(−2, 1, 0).
21.	S : x2 + y2		− xz + yz − 3x = 11,				M0(1, 4, −1).
22.	S : x2	+ 2y2 + z2			− 4xz = 8,	M0(0, 2, 0).
23.	S : x2	− y2	− 2z2		− 2y = 0,	M0(−1, −1, 1).
24.	S : x2	+ y2	− 3z2		+ xy = −2z, M0(1, 0, 1).
25.	S : 2x2 − y2 + z2				− 6x + 2y + 6 = 0, M0(1, −1, 1).
26.	S : x2	+ y2	− z2	+ 6xy − z = 8,			M0(1, 1, 0).
27.	S : z = 2x2 − 3y2 + 4x − 2y + 10,						M0(−1, 1, 3).
28.	S : z = x2 + y2 − 4xy + 3x − 15,						M0(−1, 3, 4).
29.	S : z = x2 + 2y2 + 4xy − 5y − 10,						M0(−7, 1, 8).
30.	S : z = 2x2 − 3y2 + xy + 3x + 1,						M0(1, −1, 2).

8. Знайти другi частиннi похiднi вказаних функцiй. Переконатися в тому, що zxy′′ = zyx′′ .

1.z = sin(x2 − y).

2.z = ln(3xy − 4).

3.z = arccos(2x + y).

4.z = tg xy .

5.	z = arcsin	x−y	.
		2
6.	z = − tg xy − π2 .
7.	z = ctg(x + y).
8.	z = arcctg(x − 3y).
9.	p
	z = ln 3x2 − 2y2.

10.z = e2x2+y2 .

11.z = arctg(2x − y).

12.z = cos(x2y2 − 5).

13.z = cos(xy2).

14.z = arccos(4x − y).

15.z = arcsin(x − 2y).

16.z = tg √xy.

17.z = arccos x − 5y.

18.z = arctg(5x + 2y).

19. z = sin x3y.

20.z = cos(3x2 − y3).

21.z = ln(4x2 − 5y3).

√

22. z = e x+y.

23. z = ln(5x2 − 3y4).

24. z = arcsin(4x + y).

25. z = sin √xy.

26. z = ex2−y2 .

27. z = arctg(3x + 2y).

28. z = tg(xy2).

29. z = arctg(x + y).

30. z = arcctg(x − 4y).

9. Превiрити, чи задовольняє вказане рiвняння ця функцiя u(x, y).

x∂u

+ y ∂u = 2u, u =

∂x

∂y

x+y

∂2u

+ y2

∂2u

= 0, u = exy.

∂x2

∂y2

∂2u

= 0,

u = arctg y .

∂x

∂y

∂2u

u = sin2(x − ay).

∂x2

∂y2

∂2u

− y2

∂2u

= 0, u = yp

∂x2

∂y2

x∂u

+ y ∂u

= 0,

u = arctg x .

∂x

∂y

∂2u

+ 2xy

∂2u

+ y2

∂2u

= 0, u = xy .

∂x2

∂x∂y

∂y2

x∂u∂x + y ∂u∂y = 3(x3 − y3), u = ln xy + x3 − y3.

∂2u

= 0,

u = ln(x2 + (y + 1)2).

∂x2

∂y2

10.

∂2u

+ (1 + y ln x)∂u∂x = 0,

u = xy.

∂x∂y

11.

∂2u

√

∂x2

∂y2 + ∂z2

= 0,

u =

x2+y2+z2

12.

∂2u

u = ecos(x−ay).

∂x

∂y

13.

∂u∂x + ∂u∂y + ∂u∂z = 0,

u = (x − y)(y − z)(z − x).

14.

x∂u

+ y ∂u

= u,

u = x ln y .

∂x

∂y

15.

y ∂x∂u − x∂u∂y = 2u,

u = ln(x2 + y2).

16.

∂2u

− xy ∂u∂y + y2 = 0,

u =

+ arcsin(xy).

∂x2

17.

∂2u

− 2xy

∂2u

+ y2

∂2u

+ 2xyu = 0,

u = exy.

∂x2

∂x∂y

∂y2

18.

∂2u

= 0,

u = arctg

x+y

∂x∂y

1−xy

19.

∂2u

= 0,

u = ln(x2 + y2 + 2x + 1).

∂x2

∂y2

20.

x∂u

+ y ∂u

+ u = 0,

u =

+3y

∂x

∂y

x +y

21.

∂u∂x

+ ∂u∂y

+ ∂u∂z

2 = 1,

u = x2 + y2 + z2.

22.

x∂u∂x + y ∂u∂y

= 2u,

u = (x2 + y2) tg xy .

23.

∂2u

= 0,

u = e−(x+3y) sin(x+3y).

∂x

∂y

x2 ∂

24.

+ 2xy

∂

+ y2 ∂

+ 2xyu = 0,

u = xex .

∂x∂y

∂x

∂y

25.

∂u ∂2u

u = ln(x + e−y).

∂x

− ∂y ∂x2

+ 2xyu = 0,

∂x∂y

26.

x∂u

+ y ∂u

= 0,

u = arcsin

x+y

∂x

∂y

27.

1 ∂u

+ 1 ∂2u2 =

u =

x ∂x

2 5

y ∂y

(x −y )

28. ∂u∂x + ∂u∂y

29. ∂u∂x + ∂u∂y

= xx+−yy , u = xx2+−yy2 .

= 2uy , u = 2xy + y2.

30. ∂∂x2u2 − ∂∂y2u2 = 0, u = ln(x2 − y2).

10.Дослiдити на екстремум такi функцiї:

1.z = x3 + y3 − 3xy.

2.z = y√x − 2y2 − x + 14y.

3.z = 2xy − 2x2 − 4y2.

4.z = 1 + 15x − 2x2 − xy − 2y2.

5.z = xy(12 − x − y).

6.z = 1 + 6x − x2 − xy − y2.

7.z = xy − x2 − y2 + 9.

8.z = 2x3 + 2y3 − 6xy + 5.

9.z = x3 + 8y3 − 6xy + 1.

10.z = 3x3 + 3y3 − 9xy + 10.

11.z = xy(6 − x − y).

12.z = x2 + xy + y2 + x − y + 1.

13.z = (x − 1)2 + 2y2.

14.z = 6(x − y) − 3x2 − 3y2.

15.z = xy − 3x2 − 2y2.

16.z = x2 + xy + y2 − 6x − 9y.

17.z = x2 + 3(y + 2)2.

18.z = x√y − x2 − y + 6x + 3.

19.z = 2(x + y) − x2 − y2.

20.z = 2xy − 5x2 − 3y2 + 2.

21.z = x3 + 8y3 − 6xy + 5.

22.z = 2xy − 3x2 − 2y2 + 10.

23.z = 4(x − y) − x2 − y2.

24.z = y√x − y2 − x + 6y.

25.z = (x − 2)2 + 2y2 − 10.

26.z = x2 + y2 − xy + x + y.

27.z = (x − 5)2 + y2 + 1.

28.z = x2 + xy + y2 − 2x − y.

29.z = x3 + y2 − 6xy − 39x + 18y + 20.

30.z = x2 − xy + y2 + 9x − 6y + 20.

11.Знайти найбiльше i найменше значення функцiї z = z(x, y) в областi D, обмеженiй

заданими лiнiями.

1.	z = 3x + y − xy,
		D : y = x, y = 4, x = 0.
2.	z = xy − x − 2y,
		D : x = 3, y = x, y = 0.
3.	z = x2 + 2xy − 4x + 8y,							: x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
						D
4.	z = 5x2 − 3xy + y2,			: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
			D
5.	z = x2 + 2xy − y2 − 4x,						: x − y + 1 = 0, x = 3, y = 0.
					D

6.z = x2 + y2 − 2x − 2y + 8, D : x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0.

7.z = 2x3 − xy2 + y2, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 6.

8.z = 3x + 6y − x2 − xy − y2, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.

9.z = x2 − 2y2 + 4xy − 6x − 1, D : x = 0, y = 0, x + y − 3 = 0.

10.z = x2 + 2xy − 10, D : y = 0, y = x2 − 4.

11.	z = xy − 2x − y,
					D : x = 0, x = 3, y = 0, y = 4.
12.	z = 21 x2 − xy,			: y = 8, y = 2x2.
			D
13.	z = 3x2 + 3y2
		− 2x − 2y + 2, D : x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0.
							: y = q		, y = 0.
14.	z = 2x2 + 3y2	+ 1,						9 − 49 x2
						D

15.z = x2 − 2xy − y2 + 4x + 1, D : x = −3, y = 0, x + y + 1 = 0.

16.z = 3x2 + 3y2 − x − y + 1, D : x = 5, y = 0, x − y − 1 = 0.

17. z = 2x2 + 2xy − 12 y2 − 4x, D : y = 2x, y = 2, x = 0.


18.	z = x2 − 2xy + 25 y2 − 2x,	D	: x = 0, x = 2, y = 0, y = 2.
19.
19.	z = xy − 3x − 2y, D : x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.

20.z = x2 + xy − 2, D : y = 4x2 − 4, y = 0.

21.z = x2y(4 − x − y), D : x = 0, y = 0, y = 6 − x.

22.

z = x3

+ y3 − 3xy,

: x = 0, x = 2, y = −1, y = 2.

23.

z = 4(x − y) − x2 − y2,

D : x + 2y = 4, x − 2y = 4, x = 0.

24.

z = x2

+ 2xy − y2

− 4x,

D : x = 3, y = 0, y = x + 1.

25.

z = 6xy − 9x2 − 9y2 + 4x + 4y,

D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

26.

z = x2

+ 2xy − y2

− 2x + 2y,

D : y = x + 2, y = 0, x = 2.

27.

z = 4 − 2x2 − y2,

: y = 0, y = √

1 − x2

28.z = 5x2 − 3xy + y2 + 4, D : x = −1, x = 1, y = −1, y = 1.

29.z = x2 + 2xy + 4x − y2, D : x + y + 2 = 0, x = 0, y = 0.

30.z = 2x2y − x3y − x2y2, D : x = 0, y = 0, x + y = 6.

12.Розв’язати задачi.

Розв’язування типового варiанта

1. Знайти область визначення функцiї z = ln(x2 − 3y + 6).

Логарифмiчна функцiя визначена тiльки для додатних значень аргументу, тому x2 − 3y + 6 > 0, або y < 13 x2 + 2, а це означає, що межею областi визначення буде

парабола. Областю визначення заданої функцiї є множина всiх точок, якi знаходяться пiд параболою.

2. Знайти частиннi похiднi i частиннi диференцiали по кожнiй змiннiй вiд функцiї

√

z = e− 3 x2+5y2 .

Функцiя визначена на всiй площинi. При знаходженнi похiдної по змiннiй

x iнша змiнна вважається фiксованою (сталою), а тому застосувавши формулу

диференцiювання складеної функцiї однiєї змiнної, отримаємо

												3
												√x2+5y2
∂z	3	2		2	1			2			xe	−
	= e− √x		+5y			(x2	+ 5y2)−	3	2x =	−	2	−					.
∂x					3			3
∂x					3						3	2	+ 5y	2	)	2
					−						3p(x		+ 5y		)

При цьому враховуємо dxd (− 3 x3 + 5y2) iснує у всiх точках площини, крiм O(0; 0).

Аналогiчно знаходимо частинну похiдну по змiннiй y (в цьому випадку змiнна x

вважається сталою)

																											3
				∂z		3								−		1			2			10ye−					√x2+5y2
				∂z		3		2				2				1			2			10ye−					√x2+5y2
					= e− √x				+5y								(x2 + 5y2)− 3 10y = −																			.
				∂y												3
				∂y												3							3		2							2		)	2
Тепер знаходимо частиннi диференцiали																						3p(x						+ 5y						)
Тепер знаходимо частиннi диференцiали
																															3
																															3
																															√x2+5y2
	dxz = ∂x dx = e−							√x			+5y							3(x2	+ 5y2)− 3	2x dx =					23					−2							2 2 dx.
			∂z					3		2					2			1	2							xe
								3								−							−33			p

																													(x + 5y )

	∂z									1														√x2				+5y2
	∂z				3 2		2			1									2		10ye−
dyz =		dy = e−			√x	+5y		−					(x2 + 5y2)−						3 10y dy = −														dy, крiм O(0; 0)
	∂y				√x						3
	∂y										3										3			2				2			)	2
																					3p(x				+ 5y						)
3. Обчислити					значення					частинних похiдних										fx′ (M0), fy′ (M0), fz′ (M0)																	для функцiї

f(x, y, z) = √xy cos z в точцi M0(1, 1, π3 ) з точнiстю до двох знакiв пiсля коми.

Функцiя визначена для всiх точок (x, y, z), в яких координати x та y мають однаковi

знаки, або хоч одна з них рiвна нулю. Розглянемо множину точок з областi визначення для яких x > 0, y > 0, z R1. Цiй множинi належить M0(1; 1; π3 ) розом з деяким околом.

Знаходимо частиннi похiднi заданої функцiї по кожнiй змiннiй, а потiм обчислюємо їх

значення в точцi M0(1, 1, π ) :

√

fx′ (x, y, z) =

fx′ (1, 1,

2√

cos z,

) =

cos

= 0, 25,

√

fy′ (x, y, z) =

fy′ (1, 1,

cos z,

) =

cos

= 0, 25,

2√

√

f′

(x, y, z) =

sin z,

f′

(1, 1,

) =

−

sin

−

0, 86.

−

≈ −

4. Знайти повний диференцiал функцiї z = arctg xy .

Функцiя визначена у всiх точках (x, y) площини, координати яких мають однаковi

знаки або абсциса яких рiвна нулю. Повний диференцiал	функцiї знаходимо за
формулою
dz = ∂x∂z dx + ∂y∂z dy.	(12)

Частиннi похiднi шукатимемо як як похiднi складної функцiї. Похiдна xy як по x так i по y не iснує в точках, абсциса яких рiвна нулю, тому обмежемось точками, координати

яких мають однаковi знаки.

Знайдемо спочатку частиннi похiднi

∂z

∂x 1 + y

· 2qy

· y (x + y)

· qy p

2(x + y)

∂z

∂y

1 + x

−

2(x + y)

y ·

2qy

· −

−

y ·

2qy

· qy

що пiсля пiдстановки у формулу (12) дає

dz =

dy.

− 2(x + y)

2(x + y)

5. Обчислити значення похiдної складеної функцiї u

arccos

, де x

= 1 + ln t,

y = −2e−t2+1, при t0 = 1, з точнiстю до двох знакiв пiсля коми.

(1+ln t)2

Складна

функцiя

буде

функцiєю однiєї змiнної:

arccos

. Значенню

−2e−t +1

параметра t0 = 1 вiдповiдає x0 = 1, y0 = −2. В околi точки (1, −2) функцiя u = arccos xy2

має неперервнi частиннi похiднi, а функцiї x = 1 + ln t та y = −2e−t2+1 диференцiйовнi в точцi t0 = 1. У цьому випадку похiдну знаходимо за формулою

∂u dx

∂u dy

∂x

∂y dt

Тут

−

∂u

= −

;

= −

;

∂x

∂y

q1 −

;

= −2e−t +1(−2t) = 4te−t +1.

Тодi

4te−t +1,

−q1 −

· − q1 −

· −

(1) =

e−1 +1

√

2, 31.

(

2)2

−q1 −

· −

· − q1 −

· −

−

≈

(−2)2

6. Обчислити значення частинних похiдних функцiї z(x, y), заданої неявно рiвнянням

4x3 −3y3 + 2xyz −4xz = 3 −z2 в точцi M0(0, 1, −1) з точнiстю до двох знакiв пiсля коми.

У цьому випадку F (x, y, z) = 4x3 − 3y3 + 2xyz − 4xz + z2 − 3, задовольняє умови теореми про iснування частинних похiдних неявно заданої функцiї z(x, y).

Fx′ = 12x2 + 2yz − 4z, Fy′ = −9y2 + 2xz, Fz′ = 2xy − 4x + 2z.

Причому F ′

(0; 1;

1) =

2 = 0, отже вiдмiнна вiд нуля i в деякому околi. Частиннi

−

похiднi по x i y вiд неявно заданої функцiї z(x, y) знаходимо за формулами

∂z

F ′

12x2 + 2yz

∂z

F ′

9y2

+ 2xz

−

∂x

2xy

4x + 2z

∂y

−F ′

2xy

4x + 2z

−F ′

−

Тепер обчислюємо значення цих похiдних в точцi M0 :

∂z

|M0

−

12 · 02 + 2 · 1 · (−1) − 4 · (−1)

= 1,

∂x

−

0 + 2

( 1)

−

∂z

−9 · 12 + 2 · 0 · (−1)

= 4, 5.

∂y |M0

−

2 · 0 · 1 − 4 · 0 + 2 · (−1)

−

7. а) Записати рiвняння дотичної площини i нормалi до заданої поверхнi S : z = x2 − y2 + 3xy − 4x + 2y − 4 в точцi M0(−1, 0, 1).

Якщо поверхня задана рiвнянням z = f(x, y), то рiвняння дотичної площини в точцi

M0(x0, y0, z0) до цiєї поверхнi має вигляд

−

= f′

(x , y

)(x

x ) + f′

(x , y

)(y

−

(13)

0 0

− 0

0 0

а канонiчне рiвняння нормалi

′x−x0

′y−y0

= z−z0 .

(14)

fx(x0,y0)

fy (x0,y0)

−1

У нашому випадку поверхня задана явно, а тому використаємо формули (13) i (14). Для цього знаходимо частиннi похiднi вiд функцiї z по x i y :

∂z	= fx′ (x, y) = 2x + 3y − 4,	∂z	= fy′ (x, y) = −2y + 3x + 2.

∂x		∂y

Пiдставляючи в отриманi вирази координати точки M0(−1, 0, 1), обчислюємо

∂x∂z (M0) = fx′ (−1, 0) = 2 · (−1) + 3 · 0 − 4 = −6,

∂y∂z (M0) = fy′ (−1, 0) = −2 · 0 + 3 · (−1) + 2 = −1.

Отже,

z − 1 = −6 · (x + 1) − 1 · (y − 0)

або

6x + y + z + 5 = 0

рiвняння дотичної площини, а

x + 1 = y − 0 z − 1

−6 −1 −1

або

x + 1 = y = z − 1 6 1 1

рiвняння нормалi.

б) Записати рiвняння дотичної площини i нормалi до заданої поверхнi S : x2 + y2 + z2 + xz − yz = 5 в точцi M0(1, −1, 1).

У випадку коли рiвняння гладкої поверхнi задано в неявному виглядi:F (x, y, z) = 0,

i Fz′(x0, y0, z0) 6= 0, то рiвняння дотичної площини в точцi M0(x0, y0, z0) має вигляд

Fx′ (x0, y0, z0)(x − x0) + Fy′ (x0, y0, z0)(y − y0) + Fz′(x0, y0, z0)(z − z0) = 0,

а рiвняння нормалi

′ x−x0	=	′	y−y0	=	′ z−z0	.
Fx(x0,y0,z0)		Fy(x0,y0,z0)			Fz(x0,y0,z0)

Тут поверхня задана неявно

F (x, y, z) = 0

де F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xz − yz − 5.

Отже застосовуємо формули (15) i (16). Знаходимо частиннi похiднi

(15)

(16)

Fx′ = 2x + z, Fy′ = 2y − z, Fz′ = 2z + x + y

i обчислюємо їх значення в точцi M0(1, −1, 1) :

Fx′ (M0) = 2 + 1 = 3, Fy′ (M0) = −2 − 1 = −3, Fz′(M0) = 2 + 1 + 1 = 4.

Пiдставляючи отриманi значення у формулу (15), маємо

3(x − 1) − 3(y + 1) + 4(z − 1) = 0.

Пiсля спрощень отримаємо рiвняння дотичної площини

3x − 3y + 4z − 10 = 0.

Пiдставляючи значення похiдних в точцi M0(1, −1, 1) у формулу (16), отримаємо

рiвняння нормалi

x − 1	=	y + 1	=	z − 1	.
3		−3
			4

8. Знайти другi частиннi похiднi функцiї z = arccos xy . Переконатися в тому, що

zxy′′ = zyx′′ .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.202559.25 Кб0Metodika_provedennya_exkursiy.docx
#
14.02.2016156.27 Кб247Metodika_ukrayinskoyi_movi.docx
#
01.07.2025527.87 Кб0Metodologiya_mikroekonomiki_teoriyi_ta_modeli.doc
#
01.05.202592.91 Кб0Metodolog_ND_LEKZIJA_1.rtf
#
01.07.20251.21 Mб0metodychka.doc
#
14.02.2016413.99 Кб19metodychka.pdf
#
27.11.2019516.61 Кб3Metodychni rekomendaciyi dyplomna 2011-2012.doc
#
14.02.2016574.98 Кб13Metodychni_materialy_dlya_stud.doc
#
01.05.2025402.43 Кб0Metodychni_rekomendacii_i__studentam_(koledzh,_...doc
#
01.07.20252.77 Mб0metod_all.doc
#
01.04.2025801.28 Кб0Metod_FLASH.doc