metodychka

5.2Приклади роз’язування задач.

1.Довести, що функцiя

має в точцi O(0; 0) змiшанi частиннi похiднi другого порядку, але при цьому fxy(0, 0) =6 fyx(0, 0).

Розв’язання. Спочатку обчислимо fx′ (x, y) . У всiх точках, крiм O(0; 0) можна це

2.Довести,що якщо функцiя f(x, y) диференцiйовна в випуклiй областi G, i її частиннi похiднi fx′ (x, y), fy′ (x, y) обмеженi в цiй областi, то f(x, y) рiвномiрно неперервна в областi G.

Розв’язання. Нехай |fx′ (x, y)| ≤ C, |fy′ (x, y)| ≤ C, C = const у випуклiй областi . Задамо довiльне ε > 0 i покладемо δ = 2εC . Нехай M1(x1, y1), M2(x2, y2) будь-якi точки областi G, для яких ρ(M1, M2) < δ. Iз означення випуклостi слiдує, що вiдрiзок M1M2 повнiстю лежить в G (для цього досить ε вибрати малим), тому до f(M1) − f(M2) можна застосувати формулу Лагранжа:

f(M1) − f(M2) = fx′ (N)(x1 − x2) + fy′ (N)(y1 − y2).

Оскiльки ρ(M1M2) < δ, то |x1 −x2| < δ i |y1 −y2| < δ. Отже f(M1) −f(M2) < 2Cδ =

ε. Згiдно означення рiвномiрної неперервностi це означає, що f(x, y) рiвномiрно

неперервна в областi G.

3. Доведiть, що функцiя

рiвномiрно неперервна на всiй площинi.

Розв’язання. Спочатку покажемо, що дана функцiя має обмеженi похiднi u′x, u′y ,

на всiй площинi. Дiйсно

Аналогiчно показуємо, що u′y(x, y) обмежена. Функцiя u(x, y) не диференцiйована в точцi O(0; 0), тому не можемо використати попереднiй приклад. Але простi мiркування дозволяють довести рiвномiрну неперервнiсть . Якщо точки M1 i M2

такi, що точка O(0; 0) не лежить на вiдрiзку M1M2, то можна використати формулу Лагранжа. Якщо ж точка O лежить на вiдрiзку M1M2, то рiзниця u(M1) − u(M2)

може бути оцiнена сумою двох рiзниць (u(M1) −u(M3)) + (u(M3) −u(M2)), причому

M3 вибрана так, щоб точка O не лежала на вiдрiзках M1M3, M2M3. Кожну з

рiзниць можна оцiнити з допомогою формули Лагранжа в обох випадках одержимо

|u(M1) − u(M2)| < ε , якщо ρ(M1M2) < δ = 4εC , де C = const, що задовольняє умовам |u′x| < C, |u′y| < C. Це i доводить, що u(x, y) рiвномiрно неперервна на всiй

площинi.

5.3Задачi i вправи для самостiйної роботи.

1.Дослiдiть на рiвномiрну неперервнiсть такi функцiї:

(a)u = sin x cos y;

(b)u = exp−(x2+y2);

частиннi похiднi fx′ (x, y), fy′ (x, y), fxy′′ (x, y) i змiшана частинна похiдна неперервна в точцi M0, то в цiй точцi iснує змiшана частинна похiдна fyx′′ (x0, y0) i справедлива рiвнiсть fxy′′ (x0, y0) = fyx′′ (x0, y0).

6Локальний екстремум.

6.1Основнi поняття i теореми.

1.Означення i необхiднi умови локального екстремуму.

Нехай функцiя u = f(M) визначена в деякому околi точки M0.

Означення 6.1 Кажуть, що функцiя u = f(M) має в точцi M0 локальний максимум(мiнiмум), якщо iснує такий окiл точки M0, в якому при M0 6= M

виконується нерiвнiсть f(M) ≤ f(M0)(f(M) ≥ f(M0)). Якщо функцiя має в точцi M0 локальний максимум або мiнiмум, то кажуть, що вона має в цiй точцi локальний екстремум (або просто екстремум).

Теоpема 6.2 (Необхiднi умови екстремуму) Якщо функцiя u = f(M) має в точцi M0 локальний екстремум i в цiй точцi iснує частинна похiдна по аргументу xk, то (M0) = 0.

Наслiдок 6.3 Якщо функцiя u = f(M) має в точцi M0 локальний екстремум i диференцiйована в цiй точцi, то

(при будь-яких значеннях диференцiалiв незалежних змiнних dx1, . . . , dxm).

Означення 6.4 Точки, в яких перший диференцiал функцiї дорiвнює нулю, називають точками можливого екстремуму або стацiонарними точками.

Для знаходження точок можливого екстремуму потрiбно розв’язати систему

,

fx′ m (x1, . . . , xm) = 0,

Якщо функцiя має екстремум, то частиннi похiднi в цiй точцi можуть не iснувати. Точки, в яких функцiя визначена, але хоч одна з частинних похiдних не iснує також є пiдозрiлими на екстремум.

2.Квадратичнi форми.

Означення 6.5 Функцiя вигляду

Xm

Q(x1, . . . , xm) = a11x21 + a12x1x2 + . . . + ammx2m = aij xixj,

i,j=1

де aij -числа, причому aij = aji,називається квадратичною формою вiд змiнних x1, . . . , xm.

матриця квадратичної форми.

називаються кутовими мiнорами матрицi.

Означення 6.7 Квадратична форма називається додатньо визначена (вiд’ємно визначена ), якщо для довiльних значень змiнних x1, . . . , xm, одночасно не рiвних нулю ,вона приймає додатнi(вiд’ємнi) значення. Вiдмiтимо, що

Q(0, 0, . . . , 0) = 0. Квадратична форма називається знаковизначена, якщо вона або додатньо або вiд’ємно визначена. Квадратична форма Q(x1, . . . , xm)

називається знакозмiнною, якщо вона приймає як додатнi так i вiд’ємнi значення.

Критерiй Сiльвестра для знаковизначеної квадратичної форми:

1. Для того, щоб квадратична форма була додатньо визначена, необхiдно i

достатньо, щоб усi кутовi мiнори її матрицi були додатнi:

δ1 > 0, δ2 > 0, . . . , δm > 0.

2. Для того, щоб квадратична форма була вiд’ємно визначена, необхiдно i достатньо, щоб знаки головних мiнорiв чергувалися, причому

δ1 < 0, δ2 > 0, δ3 < 0, δ4 > 0, . . . .

3.Достатнi умови локального екстремуму.

Другий диференцiал в точцi M0 можна записати у виглядi

де частиннi похiднi другого порядку ∂2u (M0) коефiцiєнти квадратичної форми,

∂xi∂xj

яку задає другий диференцiал.

порядку d2u(M0) є додатньо визначеною квадратичною формою(вiд’ємно визначеною)вiд змiнних dx1, . . . , dxm, то функцiя f(M) має в точцi M0 локальний мiнiмум(максимум). Якщо d2u(M0) знакозмiнна квадратична форма, то в точцi M0 функцiя f(M) не має локального екстремуму. Якщо ж квадратична форма квазизнаковизначена, то в точцi M0 функцiя f(M) може мати локальний екстремум, а може i не мати локального екстремуму.

У випадку, коли теорема не дає вiдповiдi на питання про наявнiсть чи вiдсутнiсть екстремуму в дослiджуванiй точцi, застосовують iншi критерiї. Наприклад, для функцiй u1 = x4 + y4, u2 = x3y3 теорема “не працює” в точцi O(0; 0), однак u1(x, y) має в точцi O(0; 0) мiнiмум, бо в проколотому околi точки приймає додатнi значення, а в самiй точцi приймає значення значення рiвне нулю. Функцiя u2(x, y)

в проколотому околi точки O(0; 0) приймає як додатнi так i вiд’ємнi значення, а в

самiй точцi перетворюється в нуль, тому в цiй точцi екстремуму немає.

4.Випадок функцiї двох змiнних. Введемо позначення :

екстремум(максимум при a11 < 0 i мiнiмум при a11 > 0).

2.Якщо D = a11a22 −a212 < 0 , то в точцi M0 функцiя u = f(x, y) не має екстремуму.

3.Якщо D = a11a22 − a212 = 0 , то в точцi M0 функцiя u = f(x, y) може мати

локальний екстремум,а може i не мати його.

Контрольнi запитання i завдання.

1.Дайте означення локального екстремуму функцiї.

2.Сформулюйте i доведiть теорему про необхiднi умови екстремуму i наслiдок з цiєї теореми. Приведiть приклад функцiї u = f(x, y), що в деякiй точцi M0: fx′ (M0) = 0, fy′ (M0) = 0, а функцiя в цiй точцi не має екстремуму.

3.Якi точки називаються точками можливого екстремуму? Наведiть приклад функцiї u = f(x, y), що має локальний екстремум в деякiй точцi M0, при цьому u′x(M0) = 0, а u′y(M0) не iснує.

4.Яка функцiя називається квадратичною формою? Що таке матриця квадратичної форми? Випишiть матрицю квадратичної форми

Q(x1, x2, x3) = ax21 − 4x1x2 + 8x2x3 − x22 + 2x3x1 + 3x23.

Обчислiть її кутовi(головнi) мiнори.

5.Сформулюйте критерiй Сiльвестра. Чи знаковизначена квадратична форма

Q(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 2x22 + 4x3x2 + 8x23?

6.Запишiть вираз для другого диференцiала функцiї u = f(x1, . . . , xm) в точцi M0. Квадратичною формою вiд яких змiнних є d2u(M0)?

7.Сформулюйте теорему про достатнi умови екстремуму. Чи є вони i необхiдними умовами екстремуму?

8.Сформулюйте достатнi умови локального максимуму (мiнiмуму) i вiдсутностi екстремуму функцiї u = f(x, y) в точцi M0(x0, y0).

9. Наведiть приклад функцiї u = f(x, y), що в деякiй точцi M0 задовiльняє умовам du = 0, D = 0, причому ця функцiя в точцi M0 : а) має локальний екстремум; б)

не має локального екстремуму.

6.2Приклади розв’язування задач

1.Знайдiть точки локального екстремуму функцiї

u = 2x2 − xy + 2xz − y + y3 + z2.

Розв’язання. Для знаходження точок можливого екстремуму знайдемо частиннi

похiднi i прирiвняємо їх до нуля:

u′ = 4x − y + 2z = 0,

x

u′y = −x − 1 + 3y2 = 0,

u′z = 2x + 2z = 0.

Розв’язавши систему, одержимо: M1(13 ; 23 ; −13 ), M2(−14 ; −12 ; 14 ). Скористаємося

достатнiми умовами екстремуму. Для цього обчислимо частиннi похiднi другого

тому функцiя u(x, y, z) має локальний мiнiмум в точцi M1. Дослiдимо тепер точку

M2. Матриця квадратичної форми d2u(M2) має вигляд

4, D = 4 > 0, a11 = 2 > 0. Отже в точцi M1 функцiя не має локального екстремуму,

а в точцi M2 має локальний мiнiмум.

3.Знайти точки локального екстремуму функцiї u = 3x2y − x3 − y4.

Розв’язання. Знайдемо першi похiднi i прирiвнюємо їх до нуля:

u′x = −3x2 + 6xy = 0,u′y = 3x2 − 4y3 = 0.

Розв’язавши систему, знаходимо що точки M1(0; 0), M2(6; 3) пiдозрiлi на екстремум. Знайдемо частиннi похiднi другого порядку даної функцiї: u′′x2 = −6x+

6y, u′′xy = 6x, u′′y2 = −12y2. В точцi M1: a11 = a12 = a22 = 0, D = a11a22 − a212 = 0,

тому потрiбно провести ще додаткове дослiдження поведiнки функцiї в околi точки

M1(0; 0), U(0, 0) = 0. При x < 0, y = 0 маємо u(x, 0) = −x3 > 0, а при x = 0, y =6 0 u(0, y) = −y4 < 0. Отже, в будь-якому околi точки M1(0; 0) функцiя приймає як додатнi так i вiд’ємнi значення, тому в цiй точцi немає екстремуму. В точцi M2: a11 = −18, a12 = 30, a22 = −108, D = 64 > 0. Оскiльки a11 < 0, D > 0 то в точцi M2 функцiя має локальний максимум.

6.3Задачi i вправи для самостiйної роботи.

1.Знайдiть точки локального екстремуму функцiй:

(a)u = x2 − xy + y2;

(b)u = x2 − xy − y2;

(c)u = x2 − 2xy + 2y2 + 2x;

(d)u = x3 + y3 − x2 − 2xy − y2;

(e)u = x3 − 2y3 − 3x + 6y;

(f)u = x3 − 2x2y2 + y4;

(h)u = expx+2y(x2 − y2);

(i)u = expx−y(x2 + 2y2 − 2xy);

(j)u = xy + x1 + y;

(k)u = (x2 + 2y2) exp−(x2+y2);

(l)u = (x − 2y) exp−(x2+y2);

(m)u = xy ln (x2 + y2);

(n)u = x2 − 2y2 − z2 + 2x − 4y + 6z − 1;

(o)u = 2x2 + y2 + z2 − 2xy + 4z − x;

(p)u = xyz(1 − x − y − z);

(q)u = x3 + xy − y2 − 2xz − 2z2 − 3y − 1;

(r)u = 2xy2 + yz2 − 4x + 2z2;

(s)u = (x + y + 2z) exp−(x2+y2+z2).

2.Доведiть, що функцiя

u = (x − y2)(2x − y2)

має в точцi O(0; 0) локальний мiнiмум вздовж кожної прямої, що проходить через

цю точку, але не має локального екстремуму в точцi.

7 Найбiльше i найменше значення функцiї. Умовний

екстремум.

7.1Найбiльше i найменше значення функцiї.

При знаходженнi найбiльшого i найменшого значень функцiї кiлькох змiнних, яка неперервна на замкнутiй множенi слiд мати на увазi , що цi значення досягаються або в точках екстремуму або на межi цiєї множини. Тому для того, щоб знайти найбiльше (найменше)значення функцiї u = f(x1, x2, . . . , xn) в областi D необхiдно

знайти всi внутрiшнi точки, пiдозрiлi на екстремум, обчислити значення функцiї в них, якщо це можливо i порiвняти iз значеннями функцiї в межових точках областi. В загальному випадку навiть для функцiї двох змiнних задача дослiдження на межi областi є досить складною. Знаходження екстремальних значень спрощується, якщо дослiджується випукла функцiя.

Означення 7.1 Пiдмножину D n-вимiрного простору будемо називати випуклою, якщо для будь-яких двох точок A i B що належать D, вiдрiзок, що їх сполучає, також повнiстю належить D.

Означення 7.2 Функцiя z = f(x, y) задана на випуклiй множинi D називається

випуклою вниз (випуклою вверх), якщо для будь-яких двох точок (x1, y1), (x2, y2) D

(випукла вверх .дати аналогiчно).

Для випуклої функцiї рiвнiсть нулю частинних похiдних є не тiльки необхiдною, але i достатньою умовою екстремуму. Бiльш того, екстремуми випуклої функцiї є глобальними, тобто найменшi значення досягаються, коли функцiя випукла вниз, найбiльшi випукла вверх.

7.2Умовний екстремум. Метод множникiв Лагранжа.

Для функцiї багатьох змiнних специфiчною є задача, коли її екстремум шукається не на всiй областi визначення, а на множинi, що задовольняє певнiй умовi. Для простоти викладу розглянемо випадок функцiї двох змiнних z = f(x, y), аргументи якої задовольняють умову g(x, y) = C, яку називають рiвнянням зв’язку.

Означення 7.3 Точка (x0, y0) називається точкою умовного максимуму (мiнiмуму), якщо iснує такий окiл цiєї точки, що для всiх точок (x, y) з цього околу, якi задовольняють умову g(x, y) = 0, виконується нерiвнiсть

f(x0, y0) ≥ f(x, y) (f(x0, y0) ≤ f(x, y)).

Найбiльш простим способом знаходження умовного екстремуму функцiї двох змiнних є зведення до задачi вiдшукання екстремуму функцiї однiєї змiнної. Якщо рiвняння

змiнних, одержимо z = f(x, y) = f(x, ϕ(x)), тобто одержимо функцiю однiєї змiнної. ЇЇ екстремум i буде умовним екстремумом функцiї z = f(x, y). Бiльше того, у випадку

функцiї трьох i бiльше змiнних рiвнянь зв’язку може бути кiлька.

В бiльш складних випадках звести до функцiї однiєї змiнної не можна. Тут ефективним є метод множникiв Лагранжа.

Нехай маємо функцiю m змiнних y = f(x1, . . . , xm) . Треба дослiдити на екстремум

iснують сталi множники λj, j = 1, . . . , n одночасно не рiвнi нулю такi, що точка