Вакарчук І.О. Квантова механіка

вираз у p12 буде непарною функцiєю z й iнтеґрал дорiвнює ну-

левi. Переходи мiж такими станами строго забороненi. Зняти цю заборону можна, хiба що враховуючи вищi наближення для ймовiрностей квантових переходiв, а також враховуючи в операторi

збурення ˆ член, пропорцiйний до квадрата векторного потенцi-

V

алу A.

§ 63. Електричнi квадрупольнi та магнiтнi

дипольнi переходи

Якщо в дипольному наближеннi випромiнювання вiдсутнє, необхiдно враховувати наступнi члени розкладу матричного елемента p12:

p12 = −ih1|(kr)(ek,αpˆ)|2i.

Розглянемо вираз

[ek,α[rpˆ]] = r(ek,αpˆ) − (ek,αr)pˆ,

ми розписали його за правилом розкриття подвiйного векторного добутку. Помножимо цей вираз скалярно на хвильовий вектор k,

(kr)(ek,αpˆ) = (k[ek,α[rpˆ]]) + (ek,αr)(kpˆ),

i використаємо означення оператора орбiтального моменту кiлькостi руху:

( )( ˆ) = ([ ˆ ] ) + ( )( ˆ), kr ek,αp ek,α L k ek,αr kp

або пiсля циклiчної перестановки операторiв у мiшаному добутку

( )( ˆ) = ([ ] ˆ ) + ( )( ˆ). kr ek,αp kek,α L ek,αr kp

Отже, матричний елемент

p = −ikh1|( ˆ )|2i − ih1|( )( ˆ)|2i,

12 nk,α L ek,αr kp

де

1

nk,α = k [kek,α]

521

одиничний вектор, що напрямлений перпендикулярно до площини, утвореної векторами k та ek,α. Перетворимо тепер другий доданок у виразi для p12. Передусiм маємо

(kpˆ)(ek,αr) = (ek,αr)(kpˆ) − i~(k )(ek,αr).

Оскiльки вектори k та ek,α взаємно перпендикулярнi, то

(k )(ek,αr) = (kek,α) = 0,

i отже, оператори, складенi зi скалярних добуткiв, що входять у дослiджуваний вираз, комутують мiж собою:

(ek,αr)(kpˆ) = (kpˆ)(ek,αr).

Поставимо собi за мету позбутись у матричному елементi p12 оператора iмпульсу pˆ так, як це ми зробили в дипольному наближен-

нi. Для цього розглянемо такий комутатор:

нагадаємо, що ˆ це атомний гамiльтонiан. Розкриємо дiю опе-

Ha

ратора pˆ2 в другому членi:

pˆ2(ek,αr)(kr)

=pˆ{−i~[ (ek,αr)](kr) + (−i~)(ek,αr) (kr) + (ek,αr)(kr)pˆ}

=pˆ{−i~ek,α(kr) − i~(ek,αr)k + (ek,αr)(kr)pˆ}

=(−i~)2(ek,αk) − i~(kr)(ek,αpˆ) + (−i~)2(ek,αk)

−i~(ek,αr)(kpˆ) − i~(kr)(ek,αpˆ) − i~(ek,αr)(kpˆ) + (ek,αr)(kr)pˆ2.

Отже, наш комутатор

522

де матричний елемент моменту iмпульсу

= h1|ˆ|2i.

L12 L

Ми пам’ятаємо (i це вже неодноразово обчислювали), що для будьякого оператора

Остаточно, з урахуванням того, що k = ω/c, знаходимо:

Тепер у p12 справдi явно не входить оператор iмпульсу, а перший

доданок можна переписати через оператор електричного квадрупольного моменту

Qµν = e(3xµxν − r2δµν ),

де e заряд електрона, xµ компоненти радiус-вектора r, iндекси

523

(ek,αk) = 0, eµk,α компоненти вектора ek,α. Уведемо вектор Q з

компонентами

де ik = k/k.

Другий член у p12 запишемо через оператор магнiтного дипольного моменту, який позначимо3 через µˆ. Нагадаємо ґiромагнiтний зв’язок мiж µˆ та оператором орбiтального моменту iмпульсу через магнетон Бора µB = |e|/2mc:

Остаточно, якщо врахувати i перший член розкладу в p12, який

ми дослiдили в попередньому параграфi, знаходимо:

3Ми не будемо плутати позначення оператора магнiтного дипольного мо-

менту зi щойно введеними iндексами електричного квадрупольного моменту. Мiж iншим, середньовiчнi iндiйськi математики в рiвняннях, що мали кiлька невiдомих, вiдрiзняли їх за допомогою рiзних фарб.

524

Цим виразом визначається iнтенсивнiсть спонтанного випромiнювання:

Перший член у p12 вiдповiдає за електричне дипольне випромiнювання: у цьому випадку скорочено говорять про E1-переходи.

Другий доданок визначає магнiтне дипольне випромiнювання: M1-переходи. Нарештi, третiй доданок вiдповiдає за електричне квадрупольне випромiнювання, або за E2-переходи. Наступнi члени розкладу величини p12 творять вищi електричнi та магнiтнi

мультипольнi переходи.

Iнтенсивнiсть магнiтного дипольного випромiнювання

де θ кут мiж вектором µ12 та одиничним вектором nk,α. Проiн-

теґрована за всiма кутами та пiдсумована за всiма поляризацiями iнтенсивнiсть

IM1 = 4 ω4 |µ12|2.

3 c3

Iнтенсивнiсть квадрупольного випромiнювання, через наявнiсть множника kν ω/c, пропорцiйна до 1/c5, її кутова зале-

жнiсть є складною. Ми не будемо аналiзувати цiєї залежностi4. Переходимо до правил вiдбору. Почнiмо з магнiтних диполь-

них переходiв. Спрямуймо оператор µˆ вздовж осi z. Матри-

чний елемент на хвильових функцiях у центрально-симетричному

4Спосiб iнтеґрування за кутами величин, складених iз декiлькох скаляр-

них добуткiв, наведено в Прикладi 1 до цього параграфа. Виявляється. що iнтеґрування за кутами iнтенсивностi Ik,α |p12|2 залишає лише внески вiд квадратiв тих трьох доданкiв у виразi p12, якi виписанi в текстi цього пара-

графа, а перехреснi члени обертає в нуль. Отже, усереднення за кутами iнтенсивностi випромiнювання дорiвнює адитивнiй сумi E1-, M1- та E2-переходiв.

Однак назагал так не є, i зокрема, при врахуваннi наступного члена розкладу величини p12 iнтеґрування за кутами залишає в iнтенсивностi його перехресний внесок з E1-дипольним членом це так зване анапольне (тобто не мультипольне) випромiнювання з iнтенсивнiстю 1/c5.

525

Отже, цi переходи йдуть без змiни квантових чисел n, l, m це

p o

− δm′,m−1 l(l + 1) − m(m − 1) .

Ми використали тут iз §33 вирази для матричних елементiв опе-

раторiв ˆ±.

L

Тепер займемось електричними квадрупольними переходами. У порiвняннi з електричними дипольними переходами їхня ймовiрнiсть на декiлька порядкiв менша, тому що їх породжують у p12 старшi члени розкладу експоненти за величиною kr ka. Оскiльки для видимої дiлянки спектра ka = 2πa/λ 10−3, то вiд-

ношення iнтенсивностей квадрупольного випромiнювання та дипольного за порядком величини становить 10−6. Отже, “квадру-

польна” спектральна лiнiя є значно слабшою за “дипольну”. Якщо збуджений атом знаходиться в станi, з якого дипольнi переходи

526

забороненi, то його час життя в цьому станi є значним i може тривати 10−2 сек. Такi стани називають метастабiльними. Перехiд iз цих станiв на основний може вiдбуватись за рахунок зiткнень мiж частинками, коли правила вiдбору є iншими. Зазначимо, що знайденi тут правила вiдбору сформульованi для переходiв, спричинених взаємодiєю тiльки з електромагнiтним полем.

Для встановлення правил вiдбору квадрупольного випромiнювання5 розрахуємо матричний елемент, наприклад, оператора Qxy:

де радiальний iнтеґрал

Z ∞

R = Rn′,l′ (r)r2Rn,l(r)r2dr

0

не дорiвнює нулевi при будь-яких значеннях квантових чисел. Iнтеґрал за азимутальним кутом обчислюємо елементарно:

ла, то ми використаємо рекурентнi спiввiдношення для функцiй Θl,m = Θl,m(θ) з попереднього параграфа.

5Правила вiдбору для квадрупольних переходiв установив вiдомий поль-

ський учений В. Рубiнович (1889–1974), який працював у Львовi i в 1937–1941 роках завiдував кафедрою теоретичної фiзики Львiвського унiверситету.

527

Для випадку m′ = m − 2 маємо

+ Bl′′,m′ Bl′′+1,m′−1Θl′+2,m′−2.

Тепер iнтеґруємо у виразi для матричного елемента Qx,y за кутом θ i враховуємо ортогональнiсть функцiй Θl,m(θ):

Таким чином, знаходимо, що у випадку “xy-квадрупольного вип-

Легко переконатись, що для “xz”- та “yz”-випромiнювання змiна квантового числа m′ можлива лише на одиницю, оскiльки координата z = r cos θ не залежить вiд кутової змiнної ϕ: m′ = m ± 1,

528

а l′ = l ± 2. З цiєї ж причини для “zz”-компоненти m′ = m, а l′ = l, l ± 2. Перебираючи всi компоненти тензора Qµν , остаточно знахо-

димо правила вiдбору для електричних квадрупольних переходiв:

причому коли l′ = 0, то l 6= 0, i навпаки. Тобто 0′–0 переходи

забороненi, i про це йшла мова в попередньому параграфi.

Приклад 1. Усереднення за кутами.

Розглянемо

де e одиничний вектор, A довiльний незалежний вектор. Розкладемо екс-

поненту й синус гiперболiчний у ряд та прирiвняємо в лiвiй i правiй частинах члени з однаковими степенями вектора A:

529

Для n = 2:

Z

4π

(eAi)(eAj )(eAk)(eAl) dΩ = 15 [(AiAj )(AkAl)

+ (AiAk)(Aj Al) + (AiAl)(Aj Ak)] .

Якщо Aj , j = 1, 2, . . . орти прямокутної системи координат, то AiAj = δij .

Цi формули є корисними при усередненнi за кутами для розрахунку iнтенсивностi випромiнювання вищої мультипольностi.

Приклад 2. “Лiнiя 21 см”. Спектральна лiнiя атомарного водню з довжиною хвилi λ = 21 см випромiнюється при M1-переходi мiж рiвнями тонкої

структури енерґетичного спектра, зумовленої взаємодiєю магнiтного моменту електрона з магнiтним моментом ядра (протона). Частина гамiльтонiана, яка вiдповiдає за цi рiвнi,

ˆ ˆ ˆ

H = Asesp,

де ˆse, ˆsp оператори спiнiв електрона та протона, A стала обмiнної вза-

ємодiї. Для обчислення енерґетичного спектра утворимо з повного моменту

ˆ = ˆ + ˆ його квадрат, який є iнтеґралом руху:

J se sp

Тепер перша поправка до енерґiї

i з урахуванням того, що квадрати операторiв спiнiв електрона i протона дорiвнюють 3~2/4, знаходимо

Квантове число j в цiй задачi може набувати лише два значення (див. §33): j = 0 для антипаралельних спiнiв i j = 1 для паралельних спiнiв. Вiдпо-

вiднi значення енерґiї є такими (рис. 55):

Отже, рiзниця

= E↑↑(1) − E↑↓(1) = A~2.

530