Вакарчук І.О. Квантова механіка

0kz

Другий доданок в квадратних дужках (−1/2) походить вiд члена f(0)/2 у формулi Ейлера–Маклорена. Наступнi доданки, що по-

значенi крапками в квадратних дужках, дають нульовий внесок при ν → 0, оскiльки вони пропорцiйнi п’ятому й вищим степеням ν. Як бачимо, iнтеґральнi доданки скорочуються, i пiсля взяття похiдної за ν знаходимо, що:

~cπ2

ε = −720a4 ,

а сила притягання мiж двома незарядженими паралельними провiдними пластинами з розрахунку на одиницю площi

f = 240a4 .

Аналогiчнi розрахунки для двовимiрного випадку є тоншими: пiсля iнтеґрування за kx пiд знаком суми за n отримуємо функцiю n2ln n. Це вимагає застосування формули Абеля–Плани. Отже,

501

Зауважуємо, що для двовимiрного випадку маємо лише одну поляризацiю. Крiм того, при n = 0, внаслiдок умови поперечностi поле вiдсутнє. Тому функцiю f(n) пiд знаком суми за n у формулi Ейлера–Маклорена доозначуємо так: f(0) = 0. Цього можна досягнути також, домножуючи f(n) на фактор e−ν′/n, ν′ → 0. Спро-

буймо далi обiйтись без обрiзаючої функцiї i вiзьмiмо iнтеґрал за kx:

Пiд знаком лiмiту в першому доданку переходимо вiд пiдсумовування за n до iнтеґрування (згiдно з формулою Ейлера–

502

Маклорена), i в результатi вiн скоротить iнтеґральний доданок (пам’ятаємо про наше доозначення f(0) = 0). Отже, внесок вiд верхньої межi iнтеґрування за kx дорiвнює нулевi. Для внеску вiд

нижньої межi iнтеґрування ми не можемо користуватись формулою Ейлера-Маклорена внаслiдок неаналiтичностi функцiї f(n) = (πn/a)2 ln(πn/a) пiд знаком суми за n. Тому скористаймось фор-

мулою Абеля-Плани. Ураховуючи те, що перший iнтеґрал з формули Абеля-Плани точно скорочує iнтеґрал за ky у другiй квадратнiй дужцi, функцiя f(0) = 0, а

Цей iнтеґрал є добре вiдомим i дорiвнює 2ζ(3), де ζ функцiя

Рiмана

Розрахунки енерґiї Казимира можна провести в загальному випадку для D-вимiрного простору. Читач цi розрахунки може

легко зробити сам, використовуючи наведенi вище прийоми.

503

Iнтенсивне вивчення ефекту Казимира зумовлене тим, що були сподiвання за його допомогою позбавитись iншої нерозв’язаної проблеми електродинамiки стiйкостi електрона. Уважалось, що густина енерґiї електростатичного вiдштовхування

e2 εел = C a4

(a лiнiйнi розмiри областi локалiзацiї заряду, C додатна стала

величина, числове значення якої залежить вiд конфiґурацiї цiєї областi й розподiлу густини заряду) та енерґiя Казимира

ε = −C′ ~a4c,

яка виникає внаслiдок iснування граничної поверхнi, разом дадуть вiд’ємне значення повної енерґiї. Це забезпечило б стiйкiсть системи. Якби сума цих енерґiй дорiвнювала нулевi (межа стiйкостi), то стала тонкої структури e2/~c = C′/C була б величиною,

що залежить лише вiд геометричних властивостей областi локалiзацiї заряду! У нашому Свiтi C′/C 1/137. Виявилось, однак, що, наприклад, для сфери дiаметра a величина C′ = −0.17638 є

вiд’ємною, тобто для замкненої поверхнi межi вiдштовхуються, а не притягуються, як у випадку двох паралельних пластин.

§ 61. Теорiя випромiнювання й поглинання свiтла

Розглянемо систему “атом плюс електромагнiтне поле”. Пiд словом “атом”, залежно вiд конкретної задачi, будемо розумiти атом або молекулу в основному чи в збудженому станах, додатнi та вiд’ємнi йони атомiв, молекул та їх сукупностi. Зосередьмо увагу на взаємодiї з полем одного з електронiв атома, який вiдповiдає за випромiнювання та поглинання свiтла певної довжини хвилi. Цей електрон називають оптичним електроном. Повний оператор Гамiльтона системи складається з суми гамiльтонiана поля

504

гамiльтонiана атома

та оператора взаємодiї електрона з полем. Тут pˆ оператор iмпульсу електрона, m його маса, U потенцiальна енерґiя вза-

ємодiї з ядром та iншими електронами.

Як вiдомо з класичної електродинамiки, “вмикання” електромагнiтного поля з калiбруванням ϕ = 0, div A = 0 здiйснюється замiною iмпульсу зарядженої частинки на p − eA/c, де e заряд

частинки. Вiдповiдно до цього у квантовiй механiцi оператор iмпульсу частинки pˆ замiнюємо на pˆ − eA/c i гамiльтонiан атома в

зовнiшньому електромагнiтному полi (див. також §16)

З умови поперечностi поля div A = 0, яка накладається на векторний потенцiал, випливає, що оператори pˆ та A комутують:

pAˆ = −i~ A + Apˆ = −i~ div A + Apˆ = Apˆ.

Повний оператор Гамiльтона атома й електромагнiтного поля записуємо у виглядi

Будемо розглядати оператор ˆ як збурення, пiд дiєю якого вiд-

V

буваються квантовi переходи системи “атом плюс поле”.

505

Нехай маємо атом iз вибраними двома станами |1i та |2i з вiдповiдними енерґiями E1 i E2 (див. рис. 52). Стан електромагнiтного поля з енерґiєю E...,Nk,α,... задається хвильовою функцiєю

| . . . , Nk,α, . . .i.

Рис. 52. Квантовi переходи у “дворiвневому” атомi.

Почнемо з квантового переходу, унаслiдок якого випромiнюється фотон iз хвильовим вектором k, поляризацiєю α i частотою ωk = kc. Отже, нехай атом знаходиться в станi |2i. Поча-

|ii = |2i | . . . , Nk,α, . . .i,

а енерґiя

Ei(0) = E2 + E...,Nk,α,....

Кiнцевий стан

|fi = |1i | . . . , Nk′ ,α, . . .i,

Ef(0) = E1 + E...,N′ ,α,....

k

506

Нас цiкавитиме народження одного фотона, коли Nk′ ,α = Nk,α + 1, а всi iншi числа фотонiв Nk′ ′,α′ залишаються тими ж, тому енерґiя

Ef(0) = E1 + E...,Nk,α,... + ~ωk.

Це є так званi однофотоннi переходи. Прикладом двофотонних переходiв є процес розсiяння свiтла.

Iмовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу розраховуємо за загальною формулою з §56:

Обчислюємо матричний елемент з урахуванням запису оператора векторного потенцiалу поля A через оператори породження i

знищення фотонiв:

Згiдно з правилами дiї операторiв породження i знищення, маємо:

h | ˆ+ | i

p

. . . , Nk,α + 1, . . . Bk′,α′ . . . , Nk,α, . . . = δkk′ δαα′ Nk,α + 1.

Тепер

507

p12 = h1|e−ikr(ek,αpˆ)|2i.

Iз тих же правил дiї операторiв породження i знищення випливає, що в нашому випадку однофотонних переходiв

hf|A2|ii = 0.

Для двофотонних переходiв ця величина вiдмiнна вiд нуля. Iз виразiв для Ef(0) та Ei(0) знаходимо рiзницю

Ef(0) − Ei(0) = E1 − E2 + ~ωk.

Тепер, збираючи отриманi вирази разом, для ймовiрностi квантового переходу за одиницю часу з випромiнюванням фотона остаточно знаходимо

Переходимо до розгляду процесу поглинання свiтла в тому ж наближеннi однофотонних переходiв. Тепер початковий стан атома описується хвильовою функцiєю |1i й енерґiєю E1, а поля ам-

плiтудою | . . . , Nk,α, . . .i та енерґiєю E...,Nk,α,.... Хвильова функцiя кiнцевого стану атома |2i, енерґiя E2. Кiнцевий стан поля за-

дається хвильовою функцiєю | . . . , Nk′ ,α, . . .i й енерґiєю E...,Nk′ ,α,...,

причому числа фотонiв Nk′ ,α = Nk,α − 1, а решта чисел Nk′ ′,α′ за-

лишаються без змiн. Результатом такого переходу буде зникнення фотона з частотою ωk, хвильовим вектором k, поляризацiєю α.

Опускаючи промiжнi викладки, аналогiчнi до наведених вище,

запишемо остаточний результат для ймовiрностi квантового переходу за одиницю часу з поглинанням фотона

508

плюс поле” з температурою T , який реалiзується в моделi абсо-

лютно чорного тiла.

Iмовiрнiсть того, що атом знаходиться в станах |1i або |2i,

n

У рiвноважному станi кiлькостi переходiв “туди” i “назад” (тобто з випромiнюванням i поглинанням фотона) повиннi бути рiвними:

ρ2wi(+)→f = ρ1wi(→−)f .

Це є так звана умова детального балансу. З урахуванням явних виразiв для ймовiрностей квантових переходiв та при замiнi чисел фотонiв Nk,α на середнi рiвноважнi значення Nk,α ця умова дає

ρ2(Nk,α + 1) = ρ1Nk,α

або

Ураховуючи закон збереження енерґiї E2 − E1 = ~ωk, остаточно

знаходимо явний вираз для середнього числа фотонiв у рiвноважному станi:

1

Nk,α = e~ωk/T − 1

формула Планка.

509

Повна середня енерґiя поля E без енерґiї вакууму E0 дорiвнює

Це i є та формула, яку вперше написав Макс Планк 19 жовтня 1900 року i навiв її доведення 14 грудня 1900 року на засiданнях Нiмецького фiзичного товариства. Для її доведення вiн змушений був припустити, що енерґiя випромiнюється й поглинається квантами, а енерґiя одного кванта пропорцiйна до частоти, ε = ~ω.

Цю знамениту формулу Планка, так само як i айнштайнiвську E = mc2, знає тепер “будь-хто”.

Повну енерґiю поля отримуємо iнтеґруванням спектральної

закон Стефана–Больцмана.

Тепер обчислимо iнтенсивностi випромiнювання та поглинання свiтла. Якщо знайденi ймовiрностi квантових переходiв за оди-

ницю часу wi(→±)f помножити на квант енерґiї ~ωk i пiдсумувати за всiма хвильовими векторами k й поляризацiями α, то ми отрима-

ємо, очевидно, кiлькiсть енерґiї, що випромiнює (значок “+”) або

510