Вакарчук І.О. Квантова механіка

звiдси очевидна iнтерпретацiя цих операторiв як операторiв знищення та породження фотонiв iз квантовими числами k, α.

Оператор

ˆ ˆ+ ˆ

Nk,α = Bk,αBk,α

називають оператором числа фотонiв, оскiльки його власнi значення дорiвнюють числу фотонiв:

ˆ

Nk,αΨ...,Nk,α,... = Nk,αΨ...,Nk,α,....

Вакуумний стан поля визначається рiвнянням

ˆ

Bk,αΨ...,Nk,α,... = 0

для всiх значень k та α.

Перейдемо тепер до визначення iнших операторiв фiзичних величин, що характеризують поле. Почнемо з векторного потенцiалу. Для знаходження вiдповiдного йому оператора необхiдно коефiцiєнти ak та ak в розкладi Фур’є для A замiнити операто-

рами. Оскiльки

то квантування здiйснюємо замiною координат та iмпульсiв операторами. З урахуванням означення операторiв породження i знищення для квантування слiд виконати такi змiни:

491

Таким чином, оператор векторного потенцiалу

Оператори напруженостей електричного та магнiтного полiв отримуємо елементарно з наведених вище розкладiв для класичних величин E та H:

Ми провели квантування вiльного електромагнiтного поля: знайшли вигляд операторiв поля (гамiльтонiана, повного iмпульсу, векторного потенцiалу, напруженостей електричного та магнiтного полiв), визначили енерґетичнi рiвнi поля. Математичний апарат операторiв породження i знищення є адекватним щодо моделi електромагнiтного поля як сукупностi фотонiв.

лi таких змiнних можна вибрати сукупнiсть узагальнених координат {. . . , Qk,α, . . .} або сукупнiсть узагальнених iмпульсiв {. . . , Pk,α, . . .}. Зрозумiло, що нiчого спiльного з координатами

чи iмпульсами фотонiв цi величини не мають. У цьому випадку ми будемо мати Ψ...,Nk,α,... як добуток звичайних осциляторних

хвильових функцiй у координатному чи iмпульсному зображен-

нi для рiзних k, α. Хвильовi функцiї Ψ...,Nk,α,... = Ψ(. . . , Qk,α, . . .)

мають змiст амплiтуди ймовiрностi того, що координати квантових осциляторiв, якi моделюють поле, знаходяться в околi “точки”

{. . . , Qk,α, . . .}.

Змiнними, вiд яких залежить вектор стану, можуть бути й числа заповнення {. . . , Nk,α, . . .}, коли говорять про власне пред-

ставлення.

492

Змiнним {. . . , Qk,α, . . .} та {. . . , Pk,α, . . .} важко надати якогось

змiсту як спостережуваним величинам. Однак для них, очевидно, iснує спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа

Якщо в цьому спiввiдношеннi вибрати стан, за яким вiдбувається

усереднення, як власний стан оператора ˆ , а отже, i ˆk,α, то ми

H

N

отримуємо тривiальний результат. Справдi, s

493

або

Nk,α (Nk,α + 1) ≥ 0,

що очевидно.

Для опису поля можна використовувати хвильовi пакети, якi зображують стан iз мiнiмальною невизначенiстю:

h( Qk,α)2ih( P k,α)2i = 4 .

У “координатному” Qk -зображеннi хвильовий пакет для певної

моди

ψ e−Q2,α/4h(ΔQk,α)2i. k

У когерентному станi (див. §11) для осцилятора дисперсiя

З огляду на це їх називають стиснутими станами. Вiдповiдно говорять про стиснуте свiтло, стиснутий вакуум. Математично стиснутий стан отримуємо дiєю оператора стискання, уведеного в §9. Експериментально стиснуте свiтло спостерiгали в кiлькох лабораторiях у серединi 80-х рокiв XX ст.

У зв’язку з корпурскулярною iнтерпретацiєю рiвнянь Максвелла, завдяки операцiї квантування поля й уведенню поняття фотона, можна говорити про його хвильову функцiю. Отже, якщо фотон має iмпульс ~k i поляризацiю α, то у власному зображеннi

хвильова функцiя фотона є добутком вiдповiдних символiв Кронекера, як це випливає iз загальної теорiї зображень (див. §12):

ψk,α(k′, α′) = δkk′ δα,α′ .

Оскiльки вектор поляризацiї має двi незалежнi складовi, то фотон має два можливi стани поляризацiї. У зв’язку з цим алґебра його поляризацiйних станiв збiгається з алґеброю спiнових станiв частинки, що має спiн ~/2. Уведемо скороченi позначення для

494

станiв лiнiйної поляризацiї фотона:

| li = 0 1

вектор стану “вертикальна поляризацiя”, або “y-поляризацiя”;

| ↔i = 1 0

вектор стану “горизонтальна поляризацiя”, або “x-поляризацiя”. Iншi стани поляризацiї фотона | i утворюємо лiнiйною комбiна-

цiєю цих базисних векторiв

| i = a| ↔i + b| li,

причому

|a|2 + |b|2 = 1.

На закiнчення цього параграфа торкнемось цiкавого питання про вакуумний стан електромагнiтного поля. Енерґiя вакууму на

у чому проявляється внутрiшня неузгодженiсть квантової електродинамiки. Слiд, однак, зауважити, що в формули для фiзичних величин входить лише рiзниця енерґiй, з якої випадає величина E0, тому ця труднiсть не приводить до непорозумiнь.

Оператор числа фотонiв не комутує з операторами напруженостей електричного та магнiтного полiв. Це означає, що у вакуумному станi, коли кiлькiсть фотонiв дорiвнює нулевi, величини напруженостей поля не мають певного значення лише їхнi середнi значення дорiвнюють нулевi. Своєю чергою це вказує на те, що в основному станi поля вiдбуваються флюктуацiї напруженостей: нульовi коливання поля. Ми знову торкаємось проблеми Нiчого. Виявляється, що Порожнеча (вiдсутнiсть фотонiв) це

495

є не звичайне Нiщо, а певний вакуумний стан поля з флюктуюючими фiзичними величинами. Енерґiя нульових коливань це i є енерґiя основного стану E0. Саме взаємодiя електрона в атомi

з цими коливаннями є причиною спонтанних переходiв i приводить до того, що спектральнi лiнiї iзольованих атомiв є не безмежно вузькими, а мають деяку ширину, яку називають природною шириною спектральних лiнiй.

Приклад. Обчислити середнє квадратичне вiдхилення iмпульсу електромагнiтного поля в рiвноважному станi при температурi T .

З означення оператора iмпульсу електромагнiтного поля з використанням його власних значень та з урахуванням того, що середнє значення iмпульсу

Оскiльки при (k, α) 6= (k′, α′) середнє вiд добутку розпадається на добуток

середнiх, то

Середню квадратичну флюктуацiю кiлькостi фотонiв розраховуємо за розпо-

Цей iнтеґрал дорiвнює π4/30 i остаточно

h(d)2i = V 4π2 T 5 .

P

15 ~3c5

В основному станi (T = 0) флюктуацiї повного iмпульсу поля вiдсутнi.

496

§ 60. Ефект Казимира

Iншим проявом iснування нульових коливань поля є ефект Казимира (Г. Казимир, 1948 р.), суть якого полягає ось у чому. Якщо

увакуумi паралельно розмiстити двi металевi пластини, то, внаслiдок поляризацiї вакууму, мiж ними виникає притягання. Поставимо собi завдання розрахувати силу цього притягання. Спочатку знайдемо змiну густини енерґiї нульових коливань електромагнiтного поля при введеннi на вiддалi a двох плоско-паралельних

площин, якi обмежують поле.

Почнiмо з одновимiрного випадку. Енерґiя нульових коливань

увеликому об’ємi перiодичностi L → ∞

у цих точках дорiвнює нулевi. З першої умови при x = 0 маємо ak + ak = 0, з урахуванням цього друга умова дає sin ka = 0, тобто k = πn/a, n = 1, 2, 3, . . . (вiд’ємнi значення n не дають нових станiв, а n = 0 дає A = 0 для всiх x). Фактично ми маємо розклад векторного потенцiала A = A(x) у ряд по повнiй ортонормованiй

системi хвильових функцiй частинки в одновимiрнiй прямокутнiй потенцiальнiй ямi з безмежно високими стiнками з §20.

Тепер енерґiя нульових коливань

Рiзниця густин енерґiй, яка є енерґiєю поляризацiї вакууму,

Ця величина має назву енерґiї Казимира.

497

Для знаходження рiзницi двох розбiжних виразiв в ε введемо пiд знаки суми та iнтеґрала обрiзаючу функцiю, наприклад, e−νk,

Вiд’ємний знак указує на те, що межi областi, в якiй локалiзоване поле, притягуються iз силою

При обчисленнi сум за n лiпше користуватись вiдомими фор-

мулами переходу вiд суми до iнтеґрала, наприклад, формулою Ейлера–Маклорена (див. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т.II. С. 540– 544):

При цьому iнтеґральнi члени у виразi для ε скорочуються.

У нашому випадку D = 1 функцiя f(n) = n, f(0) = 0, f′(0) = 1, усi вищi похiднi дорiвнюють нулевi i ми приходимо до отриманого вище результату для енерґiї Казимира ε.

498

У тих випадках, коли функцiя f(n) є неаналiтичною в точцi n = 0, використовують iншi формули, наприклад, формулу

Абеля–Плани:

Зрозумiло, що остаточнi результати не залежать вiд того, якi формули використовують.

Використаємо цю формулу для одновимiрного випадку, коли

(див. також стор. 184), i ми знову прийдемо до того ж результату для величини ε.

Ми видiлили окремо член з n = 0, оскiльки для нього немає пiдсумовування за iндексом поляризацiї α. Справдi, при n = 0 з умови поперечностi поля випливає, що kxek,1 + kyek,2 = 0, i отже, має-

мо лише одну поляризацiю. Iнтеґруємо спочатку в цилiндричнiй

499

системi координат за хвильовими векторами kx, ky , а для пiдсумовування за n використовуємо формулу Ейлера–Маклорена, незникаючий внесок дає член iз f′′′(0). Отже,

Робимо замiну змiнних iнтеґрування: в другому iнтеґралi k =

500