Вакарчук І.О. Квантова механіка

Хвильова функцiя системи ψi(0) при таких раптових змiнах “не

встигає” змiнитись, але вона не є власною функцiєю нового га-

мiльтонiана. Отже, стан ψi(0) уже не є стацiонарним. Перехiд у стацiонарний стан ψf з новим гамiльтонiаном розраховуємо за за-

гальним правилом, що випливає з принципу суперпозицiї. Розкла-

згiдно з принципом суперпозицiї, i визначають шукану ймовiрнiсть такого переходу |Cfi|2 = Wi→f :

нiчний осцилятор залишиться в основному станi, якщо раптове збурення змiнює його масу i частоту: m, ω → m′, ω′. Маємо

W0→0′ = |h0|0′i|2,

481

Г Л А В А IX

ВЗАЄМОДIЯ АТОМА З ЕЛЕКТРОМАГНIТНИМ ПОЛЕМ

§ 59. Квантування вiльного електромагнiтного поля

Для послiдовного квантовомеханiчного опису явищ, якi спостерiгаються при взаємодiї атома речовини з електромагнiтним полем, нам необхiдно провести квантування поля. Нагадаємо, що першопоштовхом до створення самої квантової теорiї став постулат Планка про квантування енерґiї електромагнiтного поля. Важливим є також i те, що в результатi побудови квантової теорiї електромагнiтного поля узагальнювались iдеї й поняття, потрiбнi для створення квантової теорiї поля як фундаменту фiзики елементарних частинок.

Будемо виходити з класичного опису електромагнiтного поля i представимо його у виглядi набору гармонiчних осциляторiв. Далi за звичайною схемою квантової механiки здiйснимо перехiд вiд класичних осциляторiв до квантових. Тим самим ми будемо розглядати електромагнiтне поле як сукупнiсть квантових осциляторiв. Задача полягає в знаходженнi явного вигляду операторiв фiзичних величин поля (гамiльтонiан, векторний потенцiал, напруженостi електричного й магнiтного полiв), обчисленнi його енерґетичних рiвнiв та хвильових функцiй. Це також дасть змогу ввести поняття фотона.

Для виконання цiєї програми дiємо таким чином. При вiдсутностi зарядiв i струмiв, тобто для вiльного електромагнiтного поля, його скалярний потенцiал можна вибрати рiвним нулевi. Векторний потенцiал A = A(r, t) як функцiя просторових координат r i часу t задовольняє умову поперечностi поля

div A = 0.

483

Напруженостi електричного та магнiтного полiв

Рiвняння Максвелла зводиться до хвильового рiвняння

цiал A в ряд Фур’є, накладаючи граничнi умови перiодичностi:

Такий запис ряду Фур’є пiдкреслює, що A величина дiйсна, A = A; множник перед сумою введений для зручностi.

З умови поперечностi поля випливає, що комплекснi вектори ak є ортогональними до хвильового вектора k:

(k ak) = 0.

Iз хвильового рiвняння отримуємо рiвняння гармонiчного осцилятора для ak:

c12 a¨k + k2ak = 0.

У зв’язку з цим коефiцiєнти ak мають гармонiчну залежнiсть вiд часу з частотою ωk = kc,

ak e−iωkt.

Для ak у показнику експоненти фiксуємо знак “−”, тодi для ak

матимемо знак “+”.

У зв’язку з цим зробимо зауваження для допитливих. Загалом кажучи, ми повиннi взяти для ak та ak лiнiйну комбiнацiю гар-

монiк iз додатними та вiд’ємними частотами. Однак остаточний результат залишиться тим самим, якщо пiд знаком суми за k в доданках iз додатною частотою для ak та вiд’ємною частотою для ak замiнити k на −k i провести простi перепозначення.

484

Пiдставляючи у вираз для E розклад потенцiалу A, запишемо енерґiю поля через величини ak та ak. При цьому двократне пiдсумовування за хвильовими векторами, що виникає у виразi для E внаслiдок його квадратичної форми за A, зводиться пiсля iнтеґру-

вання за просторовими змiнними з використанням iнтеґрального представлення символу Кронекера

що випливають iз часової залежностi величини ak, розписуємо

доданки з векторними добутками. Наприклад,

([k ak][k a−k]) = ([ak[k a−k]]k) = k2aka−k,

де враховано умову поперечностi. У результатi отримуємо, що перший i четвертий та третiй й останнiй доданки у виразi для E скорочуються, а решта дають

X

E = 2 ωk2|ak|2.

k

Перейдемо тепер вiд комплексних величин ak, ak до дiйсних

485

k

Унаслiдок поперечностi поля вектор ak є перпендикулярним до хвильового вектора k, тобто вектори ak, а також Qk лежать у площинi, перпендикулярнiй до k. Тому в цiй площинi Qk має двi компоненти Qk,1 та Qk,2:

де ek,α одиничний вектор поляризацiї,

ek,αek,α′ = δαα′ .

Наприклад, якщо напрямок хвильового вектора k вибрати уздовж осi z у декартовiй системi координат, а одиничнi вектори ek,1 та ek,2 вiдповiдно матимуть напрямок осей x та y, то гово-

рять про лiнiйну поляризацiю вздовж цих осей. Якщо складова

√

вектора поляризацiї вздовж осi x дорiвнюватиме 1/ 2, а вздовж

√

осi y (±i/ 2), то говорять про кругову поляризацiю.

З урахуванням цього повна енерґiя електромагнiтного поля набирає вигляду (тут i далi α набуває значення 1, 2):

Цей вираз є не що iнше, як сума енерґiй сукупностi незалежних гармонiчних осциляторiв з узагальненими координатами Qk,α i масами m = 1. Це дозволяє нам iнтерпретувати поле як

сукупнiсть гармонiчних осциляторiв, причому кожну гармонiку поля з хвильовим вектором k, частотою ωk = kc i поляризацiєю α зiставляємо з лiнiйним гармонiчним осцилятором. Процедуру,

486

яку ми провели вище, називають розкладом поля на гармонiчнi осцилятори.

Досi ми мали класичний опис. З метою квантування поля перейдемо вiд енерґiї до функцiї Гамiльтона, увiвши узагальненi iмпульси Pk,α:

E= 12 X X(Pk2,α + ωk2Q2k,α),

αk

˙

Pk,α = Qk,α.

Тепер рiвняння поля набувають вигляду канонiчних рiвнянь Гамiльтона в класичнiй механiцi:

Справдi, перше рiвняння зводиться до введеного означення узагальненого iмпульсу, а друге рiвняння дає

Qk,α + ωkQk,α = 0.

Якщо нагадати зв’язок вектора Qk з ak, то ми знову дiстанемо звiдси рiвняння для ak, яке є хвильовим рiвнянням для векторного потенцiалу A i до якого зводяться в нашому випадку рiвняння

Максвелла.

Iз класичної електродинамiки ми знаємо, що електромагнiтне поле має iмпульс

Використовуючи розклади в ряди Фур’є класичних виразiв для E та H, отриманих з їх означення через векторний потенцiал A,

487

знаходимо, що

Тепер за загальною схемою квантової механiки вводимо вiдповiднi оператори. Оператор Гамiльтона

а канонiчно спряженi координати та iмпульси замiнюємо операторами, пiдкоряючи їх вiдомим комутацiйним спiввiдношенням

ˆ ˆ − ˆ ˆ ~

Qk,αPk′,α′ Pk′,α′ Qk,α = i δkk′ δαα′ .

Знаходження власних функцiй та власних значень гамiльтонi-

ана ˆ , що визначають квантовий стан поля та його енерґетичнi

H

рiвнi, задача нескладна, оскiльки вона зводиться до осциляторної. Власнi функцiї

де |Nk,αi хвильова функцiя лiнiйного гармонiчного осцилятора з квантовим числом Nk,α = 0, 1, 2, . . .. Енерґетичнi рiвнi

488

Оскiльки пiдсумовування за k в доданку з 1/2 в круглих дужках

дає нульовий результат, то власнi значення оператора iмпульсу електромагнiтного поля

X X

kα

Отже, стан електромагнiтного поля визначається набором квантових чисел {. . . , Nk,α, . . .}, якi в свою чергу визначають но-

мери збуджених станiв осциляторiв. Основний (вакуумний) стан поля це стан, для якого всi квантовi числа Nk,α = 0:

X X

Якщо один з осциляторiв iз хвильовим вектором k i поляризацiєю α перебуває в першому збудженому станi Nk,α = 1, а рештав основному, то енерґiя поля дорiвнює E0 + ~ωk. Перехiд по-

ля в такий збуджений стан можна iнтерпретувати як виникнення кванта електромагнiтного поля фотона, енерґiя якого дорiвнює ~ωk, iмпульс ~ k, хвильовий вектор k, поляризацiя α. Збiльшення значення числа Nk,α означає народження нових фотонiв цього ж “сорту”. Отже, число Nk,α це є кiлькiсть фотонiв iз частотою ωk = kc, iмпульсом ~ k, напрямком поширення k/k i поляризацiєю α. Поняття кванта поля як частинки вперше ввiв

А. Айнштайн у 1905 роцi в роботi з фотоефекту, де вiн застосував до пояснення цього явища квантову гiпотезу М. Планка. У цiй роботi припускається, що квантування енерґiї вiдбувається не тiльки в актах поглинання та випромiнювання свiтла чорним тiлом, а й те, що квантовi властивостi притаманнi самому свiтлу. Сама назва “фотон”, як уже зазначалось, виникла пiзнiше, у 1926 роцi: її ввiв у вжиток американський фiзико–хiмiк Г. Н. Льюїс.

У зв’язку з iнтерпретацiєю поля як сукупностi фотонiв, зру-

так званi оператори породження та знищення фотонiв. Цi оператори добре вiдомi нам iз задачi про лiнiйний гармонiчний осци-

лятор. Аналогiчно введемо оператори породження ˆ+,α i знищен-

Bk

ня ˆk,α в теорiї електромагнiтного поля та перепишемо наведенi

B

489

вище формули з урахуванням того, що ми маємо не один, а сукупнiсть незалежних осциляторiв. Отже,

оператор iмпульсу поля

X X

ˆ ~ ˆ+ ˆ

P = kBk,αBk,α.

αk

Дiї операторiв ˆ i ˆ+ на стан поля такi:

Bk,α Bk,α

ˆ

p

Bk,αΨ...,Nk,α,... = Nk,αΨ...,Nk,α−1,... ,

ˆ+

p

Bk,αΨ...,Nk,α,... = Nk,α + 1Ψ...,Nk,α+1,...

490