8. Лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами

(1). Поділимо на .

Заміна: (незалежнї змінної) , де - покищо невідома функція.

. Знайдемо похідні.

Знайдені похідні підставляємо в (1).

Для того, щоб останнє рівняння було рівнянням зі сталими коефіцієнтами, мусить принаймі бути .

Рівнянням Ейлера називається рівняння вигляду:

Заміна: .

Випадок .

Підставляємо наші похідні у рівняння (2). Одержимо

.

В усіх доданках експоненти скорочуються. Без них отримали диференціяальні рівняння n – го порядку відносно функції y(t) із сталими коефіцієнтами. Розв’язавши це рівняння потрібно повернутися до змінної х, підставивши t=lnx.

Випадок x<0, то всі випадки аналогічні, крім х треба підставляти –х.

До рівняння Ейлера зводиться рівняння Лагранжа

Заміна: Рівняння Чебишова.

8. Задача Коші для рівняння струни. Формула Даламбера.

У формулу рівняння струни входять довільні функції

Постановка задачі Коші

(1)-(3) – Задача Коші

- поч. ф-ї.

Умова (2) означає, що задано початковий профіль струни. Умова (3) виражає заданий початковий розподіл імпульсів.

Ф-я - двічі неперервно диференційована.

- неперервно диференційована.

Теорема

Розвязок задачі Коші (1)- (3) існує єдиний і подається формулою - формула Даламбера

8. Метод Фур’є розв’язання краєвих задач для рівняння струни.

,

Розвязання першої крайової задачі

Нехай

Завдання полягає в тому, жоб розвязати задачу (1)-(7)

Задача (8)-(10) – задача Штурма-Ліувілля. Розвяжемо її:

1. 

Звідси випливає

2. 

3. 

– є розвязком рівняння (1) і задовільняє умови (6)-(7)

Розглянемо ряд . Припустимо, що він збіжний до функції . Тоді функція задовольняє умовам (1), (6)-(7).

(2)

(3)

Теорема. Розвязок задачі (1)-(3), (6)-(7) одержаний за методом Фурє подається у вигляді формули (11) з коефіцієнтами, що обчислюються за формулою (12)

Розвязання ІІ крайової задачі для рівняння струни.

Задача Штурма-Ліувілля

1. 

2. 

3. 

Метод Фурє розвязання крайової задачі для рівняння теплопровідності.

– крайові умови

- Задача Штурма-Ліувілля

Розвязуючи її будемо мати

– розвязок рівняння (1) задачі (3)-(4)

Будемо розглядати ряд

Теорема Формальний розвязок задачі (1)-(4) подається формулою (8).

1)