16. Частинні похідні, диференційованість функції багатьох змінних. Достатня умова диференційованості. Диференціал функції. Правила диференціювання.

Нехай функція визначена в деякому околі точки. Надамо змінній х приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точканалежала заданому околу. Величинаназиваєтьсячастинним приростом функціїпо змінній х. Аналогічно вводиться частинний прирістфункції по змінній: Якщо існує границя то вона називаєтьсячастинною похідною функції в точціпо зміннійі позначається одним із таких символів: – частинні похідні пов точці.Аналогічночастинна похідна функції по визначається як границяі позначається одним із символів:Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідноїсталою вважається змінна. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної. Частинна похідна(або) характеризує швидкість зміни функції в напрямі осі (або). З'ясуємо геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних. Графіком функції є деяка поверхня. Графіком функції є лінія перетину цієї поверхні з площиною. Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної, дістанемо, що , де– кут між віссюі дотичною, проведеною до кривоїв точці. Аналогічно. Для функціїзмінних можна знайти частинних похідних:

де ,.

Щоб знайти частинну похідну треба взяти звичайну похідну функціїпо змінній, вважаючи решту змінних сталими. Якщо функціязадана в областіі має частинні похіднів усіх точках, то ці похідні можна розглядати як нові функції, задані в області. Тому має сенс питання про існування частинних похідних від цих функцій по якій-небудь змінній в точці.Якщо існує частинна похідна повід функції, то її називаютьчастинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або. Таким чином, за означенням абоЯкщо існує частинна похідна повід функції, то її називаютьчастинною похідною другого порядку від функції по змінній і позначають або. Отже, за означеннямабо

_{Для функції двох змінних} можна розглядати чотири похідні другого порядку: _. Якщо існують частинні похідні від частинних похідних другого порядку, то їх називають частинними похідними третього порядку функції , їх вісім: _.

17. Числові ряди. Збіжні числові ряди. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності. Ознаки збіжності додатних рядів.

Нехай дано числову послідовність{u_n}. Вираз вигляду

а₁+а₂+…+а_n+… (1)

або, те саме, вигляду називаєтьсячисловим рядом. Числа u₁,u₂,…,u_n,...називаються членами ряду. З кожним рядом вигляду (1) будемо ставити у відповідність суми

S₁=u_1,

S₂=u₁+u₂,

S₃=u₁+u₂+u₃ ,

………………. (2)

S_n =u₁+u₂+…+u_n ,

………………

які називаються частинними або частковими сумами. Частинні суми ряду утв. деяку числову послідовність{Sn}. Ряд(1) наз. збіжним, якщо збігається послідовність його частинних сум{S_n}, тобто якщо існує скінчена границя. Число S- сума ряду. Якщо послід. немає границі або =,то такий ряд наз. розбіжним(ряд не має суми). Кожній послід. Можна поставити у відповідність ряд сумS₁ ,...,S_п, S₁+( S₂ –S₁)+(S₃- S₂)+...+(S_п- S_п-1)+...

Теорема(необхідна умова збіжності ряду): Якщо рядзбігається, то його п- тий член прямує до нуля при:

Доведення. Нехай ,тоді(3). За умовою теореми, рядзбігається, а це означає, що існує скінчена границя. Звідси і з (3) випливає правильність рівності.

Теорема доведена.

Розгл. критерій Коші для послідовності для доведення не достатності умови теореми. Нехай дано 1) ; 2),тоді для>0,що при n>N,m>N

Щоб ряд 1) був збіжн. необх. і дост ,щоб , р- довіл.

З цього випливає , що якщо ряд збіжний , то його n-тий член прямує до 0 при (це є необх умова збіжн.)

При р=1 . Це озн. не буде дост. дляряду.Необхідна і достатня ознака збіжності ряду.

Теорема: Дано ряд Щоб ряд був збіжний необх. і достат., щоб послідовність його частинних сум була обмежена , тобто

Довед. Необх. Якщо ряд збіжний ,то .Оск. послідовністьмає границю, то ця послід. обмежена.

Дост. Дано, що послідовність обмежена , причому. Оскільки послідовність монотонно зростає і є обмеженою , то вона має границю.Теорему доведено.

Ознаки збіжності додатніх рядів

Ряд , де– називається додатнім. Додатній ряд завжди має суму; ця сума буде скінченною (і, відповідно, ряд – збіжним), якщо частинні суми ряду обмежені зверху, і нескінченною (а ряд –розбіжним) в протилежному випадку.

. I Якщо маємо (1)(2)і починаючи з деякого номера для всіх , і для всіх, то із збіжності ряду (2) слідує збіж. ряду (1), а із розбіж. (1) – розбіж. (2). II Якщо то 1) приіз збіжності ряду (2) слідує збіж. (1); 2) приіз розбіж. (1) слідує розбіж (2); 3)Якщоряди одночасно збіжні або розбіжні.

Гранична озн. Раабе. Якщо то ряд (1) збіжний. Якщо то ряд (1) розбіжний.

Інтегральна ознака Маклорена. Якщо ряд (1) такий, що по можна знайти функцію таку, що ,і спадна, тоді іряд )одночасно збіжні або розбіжні.

. 2. Нехай збіжний. Існуєзбіж.границя скінченна і ряд (1) збіжний.3. Нехай (1) розбіжний. Це означає, що , тому,. Отже, ряд розбіжний.

Нехай розбіжний, то. За означенням, тому і ряд розбіжний. Ознака доведна.

III. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів виконується нерівність, то із збіжності ряду (2) слідує збіж. (1), із розбіж. (1) – розбіж. (2).

Ознака Даламбера. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд (1)збіжн. Якщо починаючи з деякого номера для всіх номерів то ряд розбіжний.

Озн. Коші. Розгул. варіанта Коші .Якщо, починаючи з деякого номера то ряд(1)збігається. Якщо, починаючи з деякого номера , то ряд(1)розбіжний.

Гранична ознака Коші. Якщо , то ряд (1)збігається. Якщо, то ряд(1) розбіжний. Якщо , то про збіжність чи розбіжність не можна судити за цією ознакою.

Ознака Раабе. Розгл. Варіанта Раабе . Якщо, починаючи з деякого номера, то ряд(1)збіжний. Якщо , то ряд розбіжний.