10. Локальний екстремум функції. Необхідна умова. Достатні умови. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на сегменті

Точка х₀ називається точкою макс.(мін) функції f(x), якщо існує окіл точки , в якомух з цього околу викон. нерів. ()f(x₀)– макс.(мін) функ; х₀ – точка максимуму(мін). Якщо нер-ті є строгими, то макс-м(мінім) наз. власним (прот. – невласним)

Точки мах і мін називаються точками екстремумів

Необх. Умова екстремуму: якщо ф-я в точці х₀ має екстремум і в цій т. існує похідна, то ця похідна=0.

Дов-ня слідує з теореми Ферма.

Тим самим, точку екстремуму потрібно шукати серед точок, в яких похід.=0 або не існує, але в цій точці повинна існувати функція. Проте, ці умови не достатні.

Наприклад: y=x³, в точці х=0 –екстремуму немає

Достатні умови екстремуму:

Якщо функц. f(x) в т. х₀ неперервна, і має похідну в околі точки (всамій точці пох. може і не існує) і для х<х₀, , а длях> х₀ , то х₀-точка максимуму. Якщо ж для х<х₀ , а для х>х₀ , то х₀- точка мінімуму. Якщо ж для х<х₀ , а для х>х₀ , або х<х₀ , х>х₀ , то точка х₀ не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

Розглянемо відрізок [x, х₀]

Ф-я на цьому відрізку задов теор Лагранжа

для х<x₀ , тобто - зліва.x>x₀ -справа. -//-х<x₀ х>x₀ . Ця точка не є ні точкою максимуму ні мінімуму.

1ша до: Якщо похідна при переході через стац. точ. змінює свій знак з + на – (чи навпаки),то в т х0 ф-я матиме макс(мін).Якщо знак не зм-ся, то в т х0 екс. нема.

2га до:Якщо існує похідна 2-го порядку вт.х0 і вона додатна(від’ємна), то в т.х0 ф-я матиме мін(макс).

3тя до:Якщо перша із ненульових вт.х0 похідних ф-ій є непарного порядку, то ф-я в т.х0 екстремуму немає. Якщо такою похідною є похідна парного порядку, то в т.х0 буде мак, якщо ця пох. від’ємна;мін-м, якщо вона додатна.

11. Напрям опуклості графіка функції. Достатні умови. Точка перегину. Необхідна умова перегину. Достатні умови.

Нехай функція f(x) диференційована в інтервалі (a,b).

Озн. Кажуть, що графік ф-ії f(x) має на інтервалі (a,b) опуклість направлену вниз (вверх), якщо цей графік в межах вказаного інтервалу лежить не нижче (не вище) будь-якої своєї дотичної.

Теорема (Необхідна умова перегину). Якщо графік ф-ії f(x) має перегин в т. М(с,f(с)) і якщо ф-ія f(x) має в т. с неперервну другу похідну, то ця похідна рівна нулеві.

Озн. Точки в яких друга похідна ф-ії рівна 0 або не існує наз-ся критичними точками другого роду.

Достатня умова випуклості графіка функції.

Теорема. Нехай функція f(x) в інтервалі (a,b) має похідну другого порядку. Якщо для всіх, то кривав інтервалі(a,b) випукла.

Доведення. Нехай для всіх. Проведемо дотичну до кривоїв довільній точці. Її р-ння має вигляд (1):(1). Якщо, то знайшовшиз р-ння (1) і двічі застосувавши теорему Лагранжа(якщо ф-іяf(x) неперервна на відрізку і диференційована в інтервалі(a,b), то існує принаймні одна т., така , що.дістанемо, де

Оскільки і, внаслідок умови теореми,тоаботобто кривалежить нижче, ніж дотична в інтерваліЯкщо жто

Оскільки і, внаслідок умови теореми,тоаботобто кривалежить вище, ніж дотична в інтерваліА це означає, що в інтервалі(a,b) крива обернена опуклістю вверх.Т-ма д-на.

Озн. Якщо в т. х₀ крива переходить від випуклості до вгнутості, то така точка наз. точкою перегину.

Точки перегину можливі в тих точках , де друга похідна = 0 або не існує.