5.Границя функції в розумінні Гейне та Коші. Еквівалентність означень. Визначні границі: .

Точка а називається точкою згущення числової множини Х={x}, якщо в будь-якому її околі містяться відмінні від а значення хєХ. Нехай задана функція f(x) в області визначення X , і задана точка a, яка може і не належати до області визначення.

Означення 1 "за Гейне". Число A називається границею функції f(x) в точці x=a, якщо для всякої послідовності x₁, x₂,…,x_n, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x₁), f(x₂),…, f(x_n) збіжна до A.

Означення 2 "за Коші". Число A називається границею функції f(x) в точці x=a, якщо для всякого існує таке, що з нерівностіслідує нерівність.

Еквівалентність означень.

Нехай виконується означення 2, тобто для всякого існує таке, що з нерівностіслідує нерівність. Оберемо з області значень функціїf(x) послідовність x₁, x₂,…,x_n–>a. За означенням границі послідовності це означає, що для всякого δ>0 існує N(δ), що з того що n>N слідує , а згідно нашого припущення, буде вірною і така нерівність, а це й означає, що

Нехай виконується означення 1, тобто для всякої послідовності x₁, x₂,…,x_n, що збігається до a, відповідна послідовність значень функції f(x₁), f(x₂),…, f(x_n) збіжна до A. Припустимо, що означення 2 не виконується, тоді існує таке , що. Виберемо такі δ₁, δ₂… що:

…………………………

Нехай , тоді, а оскільки виконується означення 1, то це означає, що, а це протирічить тому, що. Отже, наше припущення невірне.

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a зліва (лівосторонньою), якщо для всякого існує таке δ₁, що з нерівності слідує нерівність.

Число A називається границею функції f(x) в точці x=a справа (правосторонньою), якщо для всякого існує таке δ₂, що з нерівності слідує нерівність.

Теорема. Критерій Коші. Для того щоб функція f(x) мала скінчену границю в точці а необхідно і достатньо щоб:

Визначні границі: ; .

1.Розглянемо послідовність1…n, і покажемо ,що вона строго зростає і обмежена зверху та має скінченну границю. Застосувавши формулу біному Ньютона,отримаємо

Із виразу ,який знаходиться у правій частині рівності ,видно,що при переході від n до n+1 число доданків у написаній сумі зростає на одиницю і кожен доданок ,починаючи з третього,збільшується,так як стає більшим вираз, який стоїть в кожній круглій дужці,так якЦе означає строге зростання послідовностіДалі , оскільки

2.Доведемо,що Розглянемо в координатній площині коло радіуса R з центром в початку координат .Якщо OA=R, AOB=x, 0<x<\2 ,,то площа , тобто звідси, або. В силу парності функцій іця нерівність справедлива і для. Переходячи в цій рівності до границі при і маючи на увазі ,що в силу неперервності функціїcos x при x=0 має місце рівність .Отримаємо ,що

6.Неперервність функції в точці. Різні означення. Одностороння неперервність і її зв’язок з неперервністю в точці.

Означення 1. Функція називається неперервною в точці x₀, якщо вона в цій точці існує, існує границя функції в цій точці і має місце рівність

.

Функція f(x) називається неперервною в точці x=x₀, якщо для всякого існує таке, яке залежить від, що з нерівностіслідує.

Щоб функція була неперервною в точці необхідно щоб вона мала границю в цій точці.

Означення. Функція f(x) в точці x₀ називається неперервною зліва (справа), якщо лівостороння (правостороння) границя дорівнює значенню функції в цій точці.

,

Якщо функція неперервна зліва і справа, то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1. Якщо функції f(x) i g(x) визначені в одному і тому проміжку Х і неперервні в точці х₀, то в цій точці будуть неперервними і функції:

f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) (g(x)≠0).

…………………………………………….

Теорема 2. Нехай функція φ(y) визначена на проміжку уєУ, а функція y=f(x) – хєХ. Причому коли хєХ то уєУ.

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀, а функція φ(х) неперервна – у₀=f(x), то складна функція φ(f(x)) теж буде неперервною в точці х₀.

Що й буде свідчити про неперервність складної функції в точці х₀. ■

Якщо функція в точці x₀ не неперервна, то ця точка називається точкою розриву функції. Розриви функції поділяються на розриви першого і другого роду.

Якщо в точці x₀ існують границі зліва і справа, але не рівні, або навіть рівні, але не дорівнюють значенню функції в цій точці, то це розрив першого роду.

Якщо не існує хоч одна з односторонніх границь або рівні ∞, то це розрив другого роду.

Серед розривів першого роду виділяють усувний розрив – це розрив, коли обидві границі існують і рівні, але не рівні значення функції в цій точці (найчастіше тому, що вона в цій точці не існує). Щоб усунути розрив треба доозначити або переозначити значення функції в цій точці.

7. Властивості неперервної функції на сегменті. Теореми Больцано-Коші, Веєрштраса, Кантора.

Озн. Функція f(x) називається неперервною в т. х₀ якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст ф-ції.

Озн. Функція f(x) наз-ся неп-ою зліва, якщо і неп-ю з права, якщо

Якщо ф-ція неперервна в т. х₀ , то вона неперервна в ній і справа, і зліва, і навпаки з неперервності ф-ції f(x) в т. х₀ справа і зліва випливає її неперервність у заданій точці.

Т.(І теорема Больцано-Коші)Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab і на кінцях цих проміжків приймає значення різних знаків, то між a і b знайдеться точка с в, якій f(x) перетв-ся в 0.

f(x), x є [а,b] ; f(c)=0, f(a)<0, f(b)>0

Д:. Припустимо, що f(a)<0, f(b)>0 . Поділимо [а,b] пополам [а;(a+b)/2] [(a+b)/2;b] f((a+b)/2)=0. З двох отриманих відрізків принаймні на одному ф-ія на кінцях набуватиме різних значень. [а₁,b₁] – відрізок на якому функція на кінцях набуватиме різних значень. [а₁,b₁] , f(a₁)<0, f(b₁)>0. Відрізок [а₁,b₁] ділимо пополам [а₁;(a₁+b₁)/2] [(a₁+b₁)/2;b₁]. Якщо (a₁+b₁)/2=0 теорема закінчена, якщо ні то той відрізок де на якому ф-ія на кінцях набуває різних знаків. [а,b], f(a_n)<0, f(b_n)>0; [а,b][а₁,b₁][а₂,b₂]…[а_n,b_n]; b_n-a_n=(b-a)/2ⁿ_n 0; b₁-a₁=(b-a)/2; b₂-a₂=(b₁-a₁)/2=(b-a)/2². За лемою про вкладені відрізки одрежуємо, що ;;; звідси випливаєf(x)=0

Т.(ІІ теорема Больцано-Коші)Нехай функція f(x) визначена і неп-на в деякому проміжку Х. Якщо в деяких двох точках цього проміжку х=а, х=b (a<b) функція набуватиме не рівних значень f(a)=A, f(b)=B, то для будь-якого числа с яке міститься між а і b така, що f(c)=c.

Д: f(x), xєX; x=a, x=b; f(a)=A, f(b)=B; x=c, f(c)=C. Нехай А<B. Розглянемо допоміжну ф-ію φ(x)=f(x)-c, ф-ія φ(x) буде неперервною в проміжку Х, як різниця двох неперервних ф-ій. φ(a)=f(a)-c=A-c<0, φ(b)=f(b)-c=B-c<0. За І теорема Больцано-Коші існуватиме точка с між а і b така, що φ(с)=0 => f(c)-c=0 =>f(c)=c

Т.(І теорема Веэрштраса)Якщо функція f(x) визначена і неп-на в замкненому проміжку ab,то вона обмежена в цьому проміжку.

Д: Припустимо, що ф-ія f(x) необмежена в проміжку (a,b). .За лемою Больцано-Веєрштраса ,x₀є[a,b]

f(x_nk)-> f(x₀), f(x_nk).Суперечність, доводить, що ф-ція буде обмежена на [a,b].

Т:(ІІ теорема Веэрштраса)Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкненому проміжку ab, то вона досягає в цьому проміжку свого найбільшого і найменшого значення.

Т. Кантора. Якщо функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі, то вона на цьому інтервалі рівномірно неперервна.

Д. (Від супротивного). Нехай для будь-якого визначеного не існує, про яке йдеться в означенні рівномірної неперервності. В такому разі.

Візьмемо тепер послідовність додатніх чисел так, що. Тоді за вище сказаним отримаємо:

.

За лемою Больцана-Веєрштрасса із обмеженої послідовності можна виділити підпослідовність, яка буде збігатися до деякої точки. Щоб не ускладнювати позначення, вважатимемо, що сама послідовністьзбігається до.

Так як (бо, а), то одночасно і послідовністьзбігається до. Тоді за неперервністю в функції в точці, має бути:

, так що ,а це протиріччя з тим, що для будь-якоговиконується:. Теорема доведена.

Озн. Коливанням ф-ії f(x)на деякому проміжку Х наз-ся величиною ; ω=M-m; M=sup_xєX f(x); m=inf_xєX f(x)

Наслідок з теореми Кантора. Нехай функція визначена і неперервна в замкнутому інтервалі. Тоді, що якщо інтервал довільно розбити на проміжки, довжиною меншими за, то на кожному з них коливання функціїбуде меншим за.