3.Неск-но малі і неск-но великі посл-ті, спів. Між ними. Леми про нескінченно малі.

Послідовність х_n називається нескінченно малою, якщо її границею є число нуль, тобто:

Послідовність х_n границею, якої є +∞ або –∞ або ∞ називається нескінченно великою.

lim x_n = +∞

lim x_n = –∞

lim x_n = ∞

Для того, щоб пос-ть xn збігалася до числа а необхідно і достатньо, щоб послідовність(xn-a) була неск-но малою.

Л1: Якщо послідовність Bn–> %, то обернена до неї величина, An–>0

Аналогічно можна довести, що якщо п. Аn –неск.мала, то обернена до неї – неск.велика.

Л2:Сума (різниця) довільного скінченого числа, неск-но малих величин є величина нескінченно мала.

α_n –> 0 β_n –> 0

n–>+∞ n–>+∞

N = max {N'; N"} Для будь-якого n>N

Л2:Добуток нескінченно малої величини на обмежену є величина нескінченно мала.

α_n –> 0 n–>+∞

,

α_n –> 0 ,n–>+∞,–α_n–>(-1)*α_n–>0,α_n–β_n=α_n+(–β_n)–>0.

Т1:Якщо послідовність має скінченну границю, то вона є обмеженою.

4. Відповідність. Відоброження, функція. Способи задання. Види функції.

Розглянемо множини х={х},У={у}. Якщо задано правило за яким елементи множини Х співставляються з елементами з множини У, то кажуть, що між елементами цих множин задана відповідність.

Відображення – це частинний випадок відповідності. Відображенням множини Х на У назив. відповідність між елементами множини.

F – відображення х єХ у є У у=Fх таке відображення називається відображенням мн. У на мн. Х. х=F^-1у – обернене відображення. У=F(Δх) – композиція. Відобр. мн.самої на себе F⁰х=х (хх) .F(F^-1х)=х.

Функція – частинний випадок відображення. Функцією назив. однозначне відображення. х єХ у є У. D(f)=x – область визначення. Е(f)=у – обл. значень. Способи задання ф-ї:

1. Аналітичний (задання за допомогою формул) y=f(x) - задана явно, F(х,у)=0 – не явно.

2. Табличний спосіб (у вигляді таблиці)

3. Графічний спосіб: зобр-ня залежності між х та у(x).

4. Словесний спосіб (н-д, ціла частина від х).

5. параметрично задана ф-я

6. полярна система координат (заданий радіус і кут)

Типи ф-й:1Обмежені та не обмежені функції. Ф-я обмежена зверху, якщо

Обм. зверху і знизу, якщо

2Монотонні ф-ї. Ф-я f(x) назив. зрост.(спадною), якщо

3Парна і не парна. f(-x)=f(x) – парна, f(-x)=-f(x)-не парна. Сума довільного скінченого числа парних (не парних) ф-й є ф-я парна (не парна).Добуток дов. скінч числа парних ф=й є ф-я парна.

4Періодичність ф-ї. Ф-я y=f(x), х є Х назив. періодичною на множині з періодом l (l-періодичною), якщо Якщоl є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.

5Обернені ф.

6складні ф.( z=g(y),y=f(x)–>z=g(f(x)) абоz=g*f )

Основні елементарні ф: степеневі y=x^a де a - дійсне число, показникові у=а^х а>0,а/=0,логарифмічна функція y=log_ax, де основа логарифма a>0, a/=1,тригонометричні функції: y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x),Обернені тригонометричні функції arcsin x,arccos x,arctg x,arcctg,arcsec x,arcos ecx.

Якщо y є функцією від u, а u в свою чергу залежит від змінної x, то yтакож залежить від x. Нехай y=F(x) і u=φ(x). Отримаємо функцію y від x. y=F[φ(x)]. Остання функція називається функцією від функції чи складною функцією.

Елементарною ф-ю називається функція, яка може бути задана однією формулою виду y=f(x), де вираз справа складений з основних елементарних функцій і сталих з допомогою скінченного числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення і взяття функції від функції. З означення слідує, що елементарні функції являються ф-ми, які задані аналітично.