4.Основні поняття та твердження про графи та орграфи.
Графом називаємо пару G=(V,E) з двох множин, для якої елементи V називають вершинами графа, елементи Е- його ребрами і для кожного ребра еЄЕ вказано дві вершини v1,v2Є V, (можливо v1=v2), які називають кінцями ребра е. для довільного графа G множини його вершин і ребер інколи позначаємо V(G) і Е(G). Графи зручно зображати на площині: вершини – точками, а ребра – дугами між ними. Якщо у графі дозволено петлі, то його називають псевдо графом. Граф у якому між двома вершинами можливі кілька ребер назив. мультографом. У звичайному графі кінці кожного ребра є рівноправними. Якщо ж вважаємо, що ребро спрямоване від однієї вершини до іншої, тобто перша з них є початком, а друга кінцем, то таке ребро називають орієнтованим і позначають стрілкою. Граф ребра якого орієнтовані наз. орієнтованим графом або орграфом.
Над графами виконують такі дії:
А) з довільного графа G можна вилучити будь-яку вершину v разом з всіма ребрами кінцем яких він є. Отриманий граф познач. G\{v}.
Б)В довільному графі можна ототожнити дві вершини, замінивши їх одною вершиною. При цьому для всіх ребер, кінцем для яких була v1 або v2 кінцем вважатиметься u. При цьому можуть з’явитися петлі і кратні ребра (ребра, які з’єднують ті ж вершини).
В) якщо для довільного ребра е графа G ототожнити його кінці v1 і v2 то цю дію наз. стягуванням даного ребра. При цьому можливо доведеться вилучити отриману петлю, якщо граф не може бути псевдо графом.
Г) довільні графи G1 і G2 можна об’єднати отримавши новий граф G з V(G) = V(G1)UV(G2) Е(G) = Е(G1)UЕ(G2). Якщо Е(G1)∩Е(G2) =ø, то це об’єднання наз. диз’юктивним.
Д) для довільних графів G1 і G2 розглядаємо їх добуток G1хG2. Вважаємо, що V(G1хG2) = =V(G1)хV(G2), тобто вершини нового графа – це пари (v1,v2), де v1ЄV(G1), а v2Є V(G2). Стрілки маємо 2-ох сортів: вигляду (е1, v2) та (v1,е2), де е1 – ребро G1, v2 – вершина G2, v1 – вершина G1, а е2 – ребро G2. якщо ребро е1 сполучає вершини z i t, то (е1, v2) сполучає (z,V2) з(t ,V2). Аналогічно з(t , v2). Якщо е2 сполучає а і b, то (v1,а) і (v1,b).
Якщо граф містить n вершин і m ребер, то його матриця інцидентості має n рідків та m стовпців.
Елемент іkl=1, якщо вершина vk є кіцем ребра еL ( vk і еL інцидентні) і іkl=0 в іншому випадку. Для орграфа вважаємо: іkl=-1, якщо vk –початок еL; і=1, якщо vk –кінець еL; іkl=0 в інших випадках.
Матрицю інцидентності графа G позначають І(G ).
Вершини v1 і v2 називають суміжними, якщо існує ребро з v1в v2. Відповідно для кожного графа G можна скласти матрицю суміжності S(G), у якій S kl=1, якщо існіє ребро з vk у vl.
Якщо граф містить n вершин, то матриця S(G) має розмір nх n, причому для неорієнтованого графа S(G) симетрична, оскільки кожне існіє ребро з vk у vl є одночасно ебром з vl у vk. Skl(G)=1 => Slk (G).
Ребра еk і еl називаються суміжними, якщо кінець першого з них збігається з початком другого. Якщо граф G містить m ребер, то можемо записати матрицю суміжності ребер Sе(G) mхm у якій елемент Sе,kl=1, якщо ребра еk і еl суміжні.
Для довільної вершини v графа G позначають Г(v ) множину всіх вершин сполучених дугами з v. Зокрема, Г+(v )- mі вершини, з яких існує ребро у v , Г-(v )- mі, у які існує ребро з v. Для неорієнтованих графів Г+(v )= Г-(v )= Г(v ).
Для будь-якого графа можна записати список суміжності верши, вказавши для кожної вершини vі довжину Г-(v і).
Для довільної вершини v графа G кількість рабер інцидентних з v називають степенем вершини v і позначають d(v)(degree). Зокрема кожне ребро, яке починається і закінчується в v (петля) рахується двічі. Кіькість ребер, які виходять з v називають напівстепенями виходу і позначають d-(v), а ребер, що заходять у v називають напівстепенем заходу і познач d+(v). Очевидно, що d-(v)+ d+(v)= d(v).
Якщо d(v)=0, то вершина v наз ізольованою, а при d(v)=1 наз кінцевою або висячою.число d(v) для графа без кратних ребер(мають спільний початок і кінець) збігається з потужністю множтни Г(v ). Аналогічно для графа без кратних ребер d-(v)= |Г-(v )|, d+(v)= |Г+(v )|. Позначимо S(G)=mind(v) при vЄV(G), ∆ (G)=maxd(v) при vЄV(G). Якщо S(G)= ∆ (G) (всі вершини мають однаковий степінь), то граф G називається регулярним, а число S(G)=∆(G)=r(G) називають степенем регулярноті графа.
Теорема Ейлера: сума степенів вершин графа рівна подвоєній кількості його ребер.
Граф називається тривіальним, якщо у ньому немає ребер. Якщо всі вершини графа з’єднані ребрами, то граф називається повним. Граф G називається дводольним, якщо його вершини V (G) можна розбити на дві підмножини V1 і V2 такі, що: 1) деякі вершини з V1сполучені ребром з деякими вершинами з V2; 2) не існує ребер ні між вершинами з V1, ні між вершинами з V2.