1. Множини і дії над ними.

Множиною називають сукупність об’єктів довільної природи(з певними обмеженнями). Множини прийнято позначати великими літерами А, В, …

Числові множини мають стандартне позначенняN-натуральні числа, Z-цілі числа, R-дійсні,Q – раціональні, C-комплексні. Множина без елементів називається порожньою і позначається

Множину можна задати, перелічивши всі її елементи: А={1,3,5}; N={1,2,3,…}. Інший спосіб – вказати ознаку, за якою відбираються елементи множини. {x | x-парне додатнє }={2,4,6,…}, якщо ж відбираємо тільки елементи з деякої множини, то пишемо так: {у є R|<3}=(-,).

Кількість елементів множини називається її потужністю і позначається |A|. Якщо множина А містить об’єкт х, то його називаємо елементом А, і пишемо

х є А, а інакше x А.

Якщо всі елементи множини А належать множині В, то А називають підмножиною В і пишемо .

Н-ад:.Порожня множина є елементом кожної множини.

Дії над множинами:

Для довільних двох множин А і В, визначають наступні дії:

Дії над множинами зручно позначати діаграмами Ейлера-Венна.

1) -об’єднання множин.

Об’єднанням 2-ох множин називається множина всіх елементів, які належать хоча б одній з множин А і В.

2) А- перетин множин.

Пертином 2-ох множин А і В називають множину елементів спільних для А і В.

3) A \ B – різниця множин.

Різницею 2-ох множин А і В називають множину елементів А, які не належать до В.

4) = (А \ В)(В \ А) - симетрична різниця.

Симетричною різницею називають множину елементів, які належать рівно одній з А і В.

Н-ад: А={1,2,3,4}, В={3,4,5}, тоді ={1,2,3,4,5}, А={3,4},A \ B={1,2}, ={1,2,5}.

Означ.: Якщо в деякій задачі розглядаємо тільки елементи деякої множини, то цю множину називають універсумом. Якщо U – універсум, то для довільної множини А, різниця U \ A складається з усіх елементів, що не належать множині А, вона називається доповненням до А (позначають ).

Н-ад: U=N, А={2,4,6,…}, ={1,3,5,…}.

Дії над множинами мають очевидні властивості:

1. , - комутативний закон.

2. , - асоціативний закон.

3. ,- розподільні або дистрибутивні закони.

4. , - іденпотентність.

5. =А – інволютивність.

Корисними є так звані закони Деморгана:

=,=

Дії об’єднання і перетину можливі для довільної кількості множин, при цьому можна використовувати скорочення

або

2. Відношення та їх властивості.

Озн.: Відношенням між елементами множин А1,А2,…,Аn називаємо довільну підмножину R декартового добутку A1A2…Аn.

Оскільки декартів добуток складається з усіх можливих наборів (а1,а2,…,аn), в яких а1є А1, а2 є А2,…,аn є Аn, то відношення складається з усіх або деяких таких наборів, як правило відібраних за деякою ознакою.

Якщо набір (а1,…,аn) потрапляє до , то кажемо що елементи а1,а2,…,аn перебувають у відношенні R.

Якщо відношення пов’язує елементи N-множин, то його називають n-арним (1-множину-унарне,2-ві-бінарне, 3-тернарне).

Н-ад: -R-бінарне відношення між елементами множин А={1,2} і В={x,y}, тоді (1,х) є R-перебувають у відношенні, (1,у) R-не перебувають.

Як правило, для бінарних відношень замість (х,у) є R пишуть простіше хRу.

Бінарним відношенням між елементами скінчених множин зображають також бітовими матрицями (таблицями). Якщо | A|=m, |B|=n, то кожному відношенню відповідає відношення m рядків з n стовпців. Якщо і-тий елемент з А перебуває у відношенні R з j-им елементом множини В, то в і-му рядку на j-му місці ставимо одиничку.

Бінарне відношення на множині А може мати такі властивості:

1. рефлексивність

-кожен ел-т а з множини А перебуває у відношенні R сам із собою.

2. антирефлексивність

-ніякий ел-т множини А не перебуває у множині R сам з собою.

3. симетричність-якщо а – у від-ніR з b, то й b–у в-ні R з а.

4. асиметричність.-одночасне вик-ня аRb і bRa – неможл.

5. антисиметричність ^ bRa a=b)-одночасне виконання aRb i bRa –неможливе, або можливе при умові їх рівності.

6. транзитивність

(aRb^bRcaRc)-якщо у відношенні R перебувають а з b та b з с, то а перебуває у відношенні з с.

Бінарне відношення R є :

1.рефлекивне, якщо у його матриці по головній діагоналі розташовані одинички.

2.антирефлексивне, якщо у його матриці по головній діагоналі розташовані нулі

3.симетричне, якщо його матриця теж симетрична відносно головної діагоналі.

4.антисиметричне, якщо у матриці елемент, симетричний до кожної одиниці поза діагоналлю є нулем.

5 асиметричне, якщо у матриці немає 2-ох одиниць симетричних відносно однієї діагоналі, зокрема на самій діагоналі всі елементи є нулями.

3.Відношення часткового порядку.

Озн.: Бінарне відношення на множині х називається відношенням не строгого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне:

^,то х=у^

Відношення не строгого порядку на множиніR- зображається графом, у якому: в кожній вершині є петля, між різними елементами не існує одночасно 2-ох протилежних стрілок, якщо існують дуги з х в у і з у в z, то існує і дуга з x в z.

Означ.: Бінарне відношення на множиніХ називається відношенням не строгого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне:

1. , то ; 2), то х=у ; 3)х,

Відношення нестрогого порядку зображається графом, у якому :

1) в кожній вершині є петля; 2) між різними елементами не існує одночасно 2-ох протилежних стрілок;3) якщо існують дуги з х в у і з у в z , то існує і дуга з х в z.

Твердження: 1) Якщо існує -відношення строгого порядку, то - - відношення нестрогого порядку. 2)- відношення нестрогого порядку, то -відношення строгого порядку.

Якщо для відношення порядку і для елементівх та у виконано аботох та у – порівняльні, інакше – не порівняльні.

Означ.: Частковий порядок, для якого всі пари елементів є порівняльними називають лінійним порядком. Множину з частковим (лінійним) порядком називають частково (лінійно) впорядкованою.

Н-ад: 1) -відношення лінійного порядку.

Нехай А-підмножина частково впорядкованої множини ; елементb називають нижньою гранню А, якщо . Аналогічно елемент с єX, с- верхня грань множини то, для всіха є А.

П-ад: Нехай A={3,7,8}, тоді 1,2,3 – нижні грані А, 8,9,10-верхні грані.

Означ.: Елемент х множини називають її найменшими елементом, якщо, інакше кажучих – нижня грань всієї множини Х, у-найбільша, ,, тодіу –верхня грань множини Х.

Означ.: Елемент х називається мінімальним min в множині , якщо не існує(тобто від нього не існує менших), аналогічно у-максимумmax, якщо не існує .

Якщо у множині існує найменший елемент, то він єдиний і одночасно є min, але не навпаки, але не навпаки. Аналогічно, найбільший елемент є максимальний. Найменший і найбільший елементи множини А позначаються min A та max A.

Нехай А-підмножина ЧВМ (частково впорядкована множина).

Означ.: Найбільша серед нижніх граней множини А (якщо вона існує) називається точною нижньою гранню і позначається inf A(інфімум). Аналогічно – найменше з верхніх граней називається точною гранню і позначається sup A(супремум)- точна верхня грань.

П-ад: Нехай , тоді inf A =2, sup A=3=max A.

Щоб довести, що b=inf A, треба показати, що

1. b – нижня грань А;

2. кожна нижня грань А передує , с є А – з того що, випливає, що. Аналогічно для верхніх граней.

Між властивостями верхніх і нижніх граней є повна подібність. Це пояснюється тим, що з кожного часткового порядку можна утворити протилежний порядок,- поклавши, що, якщо. При цьому нижні грані стають верхніми,min-max і т.д.

Озн: ЧВМ, в якій для кожних 2-ох елементів a i b існує іх точна нижня грань inf {a,b}=a^b – найбільша серед елементів, що передує а і b називається нижньою напівграткою . Аналогічно верхня напівгратка - це ЧВМ, така, що а і b існує точна верхня грань: sup{a,b}=ab( -cупремум).

Кожна лінійно впорядкована множина є нижньою і верхньою напівграткою : В ЛВМ -.

В нижній напівгратці взяття точної нижньої грані є бінарною операцієюз властивостями:

1. 

2. -з обох боків отримуємо точну нижню грань множини {x, y, z}.

3. - властивість іденпотентності.

Теорема: Для кожної операції “ * ” : з властивостями

1) x*y=y*x; 2) x*(y*z)=(x*y)*z; 3) х*х=х.

Існує єдиний частковий порядок на х, для якого х*у – це точно нижня грань -.