1. Поняття рівномірної неперервності функції.

Нехай функція неперервна на деякому проміжку. Виберемо довільну точку. Тоді за означенням неперервності функції в точцідля довільного числазнайдеться числотаке, що нерівність виконуватиметься для всіх , що задовольняють умову.

Зрозуміло, що число залежить як від числа, так і від(див. рис. 10).

Виникає питання, чи існують неперервні функції, визначені на певних проміжках, такі, що для будь-якого числа знаходилося б, незалежне від, тобто, щоббуло єдиним для довільного значенняіз проміжку визначення функції(залежне лише від) і таким, що нерівністьвиконувалася б за умови.

Розв'язання цього питання приводить до поняття рівномірної неперервності функції.

Функція називається рівномірно неперервною на проміжку, якщо для будь-якого числаіснуєтаке, що для довільних точок, які задовольняють умову, виконується нерівність.

2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

Якщо функція неперервна на відрізку, то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення.Нехай для деякого визначеного числане існує такого числа, про яке йде мова в означенні рівномірної неперервності. У такому випадку для будь-якого числазнайдуться такі два значення, що, але.

Візьмемо послідовність додатних чисел, збіжну до нуля,. Для кожногознайдуться взначеннятакі, що, але. Оскільки кожненалежить відрізку, то послідовність, про яку йде мова, обмежена. Отже, із неї можна вибрати підпослідовність, збіжну до деякої точки, яка належить відрізку. Для спрощення позначень будемо вважати, що сама послідовність збігається до. Оскільки, то і. Отже, послідовністьтакож збігається до. Тоді за неперервністю функціїна відрізкуй із того, що, випливає:і.

Звідси маємо , що суперечить тому, що за припущенням для всіх значень.

Звернемо увагу на те, що наведена теорема не виконується, якщо замість відрізка узяти інтервалчи один із півінтервалів.

Приклад.Функціянеперервна на інтервалі, але вона не є на цьому інтервалі рівномірно неперервною. Дійсно, нехайфіксоване. Тоді б якеми не взяли, завжди знайдуться точки, достатньо близькі до нуля, і такі, що, але.

Наслідок.Нехай функціявизначена та неперервна на відрізку. Тоді за заданимзнайдеться таке, що при розбитті відрізкана частинні відрізки, які не мають спільних точок або мають єдину спільну точку і довжини яких менші від, коливання функціїна кожному із частинних відрізків буде меншим від.

3. Теорема про неперервність оберненої функції.

Нехай функція визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку, і нехай множина− множина значень. Тоді на множиніобернена функціяоднозначна, строго монотонна та неперервна.

Доведення.Нехай для визначеності функціяна множинізростаюча, тобто для довільних, що задовольняють умову, виконується нерівність.

Однозначність оберненої функції випливає з того, що, оскількизростаюча на, справедлива нерівністьпри. Отже, кожномувідповідає єдине значення.

Покажемо, що обернена функція на множинізростаюча. Дійсно, якщо, то, оскільки за умовивиконувалася б умова, що суперечить допущенню.

Установимо тепер, що функція на множинінеперервна. Для цього спочатку доведемо наступну лему.

Лема. Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) функції, визначеної на деякій множині, знаходиться в деякому проміжку, який вона заповнює весь, то функціяв проміжкунеперервна.

Щоб це довести, візьмемо точку , котра не є його правим кінцем, і покажемо, що в цій точці функціянеперервна справа. Точканалежить проміжкуі не є його кінцем тому, що є значеннятакі, щоі їм відповідають узначення. Нехайдовільне, але настільки мале число, щоб значеннятакож належало проміжку. Оскільки за припущенням, то існує таке значення, що, причому( оскільки приі). Покладемо, тобто. Якщо тепер , тобто, то або .

Це і означає, що . Тобто функціянеперервна в точцісправа.

Аналогічно можна встановити неперервність функції у точцізліва, якщоне є лівим кінцем проміжку. Звідси в сукупності буде випливати твердження, що розглядаємо.

Перейдемо до доведення неперервності функції . Оскільки ця функція, як уже встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь проміжок, то відповідно до леми функціянеперервна.