Ітераційні функціональні системи (ifs)

IFS у чомусь схожі на фрактальні орбіти. Принцип їхнього розрахунку такий самий. Однак, розрахунок завжди проводиться за однією і тєю ж формулою:

NewX = A*x + B*y + E

NewY = C*x + D*y + F

У більшому ступені вид IFS залежить від шести констант, позначених буквами від A до F. Від початкового значення (Seed) вид фракталу, як правило, не залежить. Головна відмінність IFS полягає в тому, що для кожного конкретного стану фракталу задається не один набір констант-параметрів, а декілька (як правило, не менш трьох), і для кожного набору вказується імовірність її вибору в частках одиниці. Як приклад можна привести IFS "Fern", що формує зображення листка:

A	B	C	D	E	F	P
0.0	0.0	0.0	0.16	0.0	0.0	0.01
0.85	0.04	-0.04	0.85	0.0	1.6	0.85
0.2	-0.26	0.23	0.22	0.0	0.44	0.07
-0.15	0.28	0.26	0.24	0.0	0.44	0.07

Розрахунок вимагає порядку 15 тисяч ітерацій:

Геометричні фрактали.

Фрактали цього класу в двохвимірному випадку дістають за допомогою деякої ломаної(або поверхні в трьохвимірному випадку), яку називають генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, який складає ломану, замінюється на ломану-генератор у відповідному масштабі. У результаті безкінечного повторення цієї процедури дістається геометричний фрактал. Розглянемо один із таких фракталів - тріадну криву Кох.

Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини - це 0-е покоління кривої Кох. Далі кожна ланка(в нульовому поколінні один відрізок)заміняється на елемент, показаний на малюнку як N1. У результаті такої заміни одержуємо наступне покоління кривої Кох. У 1-му поколінні - це крива із чотирьох прямолінійних ланок. Для того, щоб одержати 2-ге покоління, робимо ті ж самі дії - кожна ланка заміняється на зменшений утворюючий елемент. І так для одержання кожного наступного покоління, всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління при будь-якому кінцевому n називається передфракталом. При n прямуючому до нескінченності крива Кох стає фрактальним об'єктом.

Для одержання іншого фрактального об'єкта потрібно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівних відрізка, з'єднаних під прямим кутом. В нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що при такій заміні відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконуються правила: перша ланка зліва заміняється на утворюючий елемент так, щоб середина ланки зміщувалась вліво від напрямку руху, а при заміні наступних ланок напрями зміщення середини відрізків повинні чергуватися. На малюнку програми зображено побудову даного фракталу по вищеописаному принципу.

Фрактальна крива при n прямуючому до нескінченності називається драконом Хартера-Хейтуея.

І ще один геометричний фрактал. Візьмемо трикутник. Це буде нульове покоління цього фракталу. Тепер знайдемо середину кожної сторони цього трикутника, з'єднаємо їх. Повторимо цю ж дію для кожного отриманого трикутника. Такий фрактал зображено на малюнку.

Польський математик Вацлав Серпінський придумав цікавий об’єкт, відомий як решето Серпінського. Цей трикутник один з найвідоміших ранніх прикладів фракталів. Існує декілька способів побудови цього фракталу. Один з них такий: береться суцільний рівносторонній трикутник, на першому кроці з центру видаляється перевернутий трикутник. На другому кроці видаляється три перевернуті трикутники з трьох трикутників, що залишилися. Продовжуючи цей процес, на n-ому кроці видаляємо 3n-1 перевернутих трикутники з центрів 3n-1 трикутників, що залишилися. Теоретично, кінця цьому процесу не буде, і в трикутнику не залишиться «живого» місця, але і на частини він не розпадеться. Отримаємо об’єкт , що складається лише з дірок. Це і є трикутник Серпінського. Трикутник Серпінсього називають серветкою або решетом Серпінського.