5.1. Нерівність трикутника

Добре відомо, що для трьох довільних точок тавиконується нерівність(нерівність буде строгою, якщо точкане лежать між двома іншими точками). Звідси отримуємо, що довжина ламаної не більша за відстань між її кінцями. Ці елементарні міркування часто є ключовими при доведенні нерівностей для відстаней.

Задача 5.1.1.Довести, що довжини медіаніта його периметрзадовольняють нерівності

.

Доведення.Нехай у трикутнику;,- медіани (рис. 20). Ізмаємо

.

Аналогічно отримуємо нерівності та. Додаючи одержані співвідношення, отримуємо праву частину нерівності, що доводиться. Ізмаємо

.

Таким же чином дістаємо нерівності ,, додаючи які та попередню, отримуємо ліву частину співвідношення, що доводиться.

Згадуючи співвідношення, які виражають довжини медіан через сторони трикутника, зокрема , на основі доведеного твердження можна говорити, що нами реалізовано геометричне доведення алгебраїчної нерівності

,

де числа додатні і такі, що сума двох із них більша від третього.

Задача 5.1.2. У прямокутникуна сторонах,,тавибрано точкита(по одній на кожній стороні). Довести, що периметр одержаного чотирикутника не менший.

Доведення. Симетризуємо прямокутниквідносно сторони, а потім – відносно прямої. При цьому утворяться нові прямокутникита(рис. 21). Очевидно, що периметр чотирикутникабуде дорівнювати

=

і оскільки , то він не буде перевищувати довжини ламаної, яка в свою чергу не перевищує довжини відрізка.

Задача 5.1.3.Дано гострий кут і точкувсередині нього. Знайти на сторонах кута такі точкита, щоб периметр трикутникабув мінімальним.

Розв’язання.Нехай задана точкавсередині кута. Симетризуючи її відносно сторін кута, отримаємо точкита. Проведемо пряму, яка перетне сторони кута у деяких точкахта(рис. 22). Покажемо, що трикутник- шуканий.

Насамперед, зауваживши, що симетричні відносно прямої відрізки рівні, отримуємо та. Тому периметр

.

Для іншого положення точки на стороні кута (наприклад, для точки) дістаємо

.

Аналогічно збільшується периметр трикутника при зміні положення точкина другій стороні кута. Таким чином, точкита- шукані.

Очевидно, що якщо заданий кут гострий, то пряма завжди перетне сторони кута, тому поставлена задача матиме єдиний розв’язок.

5.2. Застосування векторів

Інколи обґрунтування нерівності для відстаней зручно проводити, використовуючи вектори. При цьому може застосовуватися векторний аналог нерівності трикутника: . У задачах, зв’язаних з центром ваги трикутника, використовується рівність, де- точка перетину медіан,- вершини трикутника.

Задача 5.2.1. На площині задано два відрізкиі. Довести, що довжина відрізка, що сполучає їх середини, не більша за півсуму відрізківта.

Доведення.Нехай точкита- середини відрізківівідповідно (рис. 23). Очевидно, що виконуються векторні рівностіта. Додаючи їх, отримуємо рівність, з якої, переходячи до довжин векторів, дістаємо, що доводить висловлене в умові твердження. Знак рівності можливий при умові, тобто, коли заданий чотирикутник є трапецією або паралелограмом.

Задача 5.2.2.У чотирикутникукуттупий,- середина сторони. Довести, що.

Доведення. Нехай точкає серединою відрізка. Очевидно, що точкарозташована всередині кола з діаметром, тому(- центр кола). Оскільки, як середня лінія трикутника, то, що потрібно було довести.

Задача 5.2.3.На площині задані два трикутникита. Нехайта- точки перетину їхніх медіан. Довести, що.

Доведення. Очевидно, що виконуються векторні рівності,

,

.

Додаючи їх, отримуємо , звідки випливає нерівність, яку ми доводимо.

Задача 5.2.4.У пірамідівершинусполучили з точкою- центром ваги трикутника. Довести, що.

Доведення.Очевидно, що виконуються векторні рівності,,. Додаючи їх та враховуючи, що, отримуємо співвідношення, з якого випливає задана нерівність. Знак рівності у ній неможливий, оскільки векторине колінеарні, тому.