Студентам ИТ / 3 ЛП_ИТ / ИТ_автоматизир / ИТ_автоматизир_Excel / 6_Опт_зад_упр
.pdf
Лабораторная работа №5
Решение оптимизационных задач управления средствами электронной таблицы Microsoft Excel
Ресурсное планирование объема выпускаемой продукции. Цех предприятия производит два вида продукции (Продукт_1 и Продукт_2). Следует рассчитать оптимальные недельные объемы Q1 и Q2 производства этих продуктов с точки зрения максимизации прибыли. Прибыль (целевая функция PROF) от каждого продукта составляет: PROF1 = 5 ден. единиц, PROF2 = 5,5 ден. единиц.
На производстве действуют ограничения b1 – по сырью, b2 – трудовым ресурсам и b3 – транспортным расходам:
–для Продукта_1 требуется a11 = 3 единицы сырья, для Продукта_2 требуется a12 = 6 единицы сырья. Всего цех располагает b1 = 18 единицами сырья;
–для изготовления Продукта_1 требуется a21 = 6 рабочих, для Продукта_2 требуется a22 = 4 рабочих. В цехе всего b2 = 24 рабочих;
–транспортные расходы на перевозку Продукта_1 составляют a31 = 2 единицы, а Продукта_2 – a32 = 1 единицу. Эти затраты не могут быть менее b3 = 2 единиц (цена аренды одного автомобиля минимальной грузоподъемности в течение дня). Считается, что вся дневная продукция цеха может быть вывезена на одном грузовике.
Кроме того, очевидно, что ни одна из переменных (число единиц продукции) не
может быть менее нуля. Q1 , Q2 0.
Отсюда запишем соотношения, из которых можно вычислить оптимальные объемы производства Продукта_1 и Продукта_2:
3 * Q1 |
+ 6 |
* Q2 |
18 |
– потребность в сырье, |
|
6 * Q1 |
+ 4 |
* Q2 |
24 |
– трудовые ресурсы, |
|
2 * Q1 |
+ 1 |
* Q2 |
|
2 |
– транспортные расходы, |
Q1 |
0, Q2 0 |
|
– условие неотрицательности, |
||
PROF = 5 * Q1 |
+ 5,5 * Q2 max |
– целевая функция. |
|||
Создайте шаблон для решения поставленной задачи:
Ограничения вносятся в верхнюю часть таблицы 1. Коэффициенты отношений – в область C2:D4, правая часть уравнений – в F2:F4. Коэффициенты целевой функции – в C6:D6. В процессе расчетов в области Е2:Е4 отображаются вычисляемые (фактические) значения правой части неравенств. Сюда вводятся формулы:
E2=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C2:D2),
E3=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C3:D3),
E4=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C4:D4).
Таблица 1
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
1 |
№ |
Вид ресурса |
Продукт 1 |
Продукт 2 |
Вычисленные |
Заданные |
|
значения |
ограничения |
||||||
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
Сырье |
3 |
6 |
18,0 |
18 |
|
3 |
2 |
Труд |
6 |
4 |
24,0 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
Транспорт |
2 |
1 |
7,5 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
Прибыль: |
|
|
6 |
|
Целевая |
5,00 |
5,50 |
23,25 |
|
|
|
функция |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
Результаты |
3,00 |
1,50 |
|
|
Аналогично значение целевой функции (прибыль) равно
E6=СУММПРОИЗВ(C$7:D$7;C6:D6).
Если размерность системы уравнений (как в нашем случае) невелика, можно
воспользоваться более простыми функциями (таблица 2): |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
E2=C2*С$7+D2*D$7, E4=C4*С$7+D4*D$7, |
|
|
||||||
|
1 |
|
Вычисленные |
|
|
|||||||
|
|
E3=C3*С$7+D3*D$7, E6=C6*С$7+D2*D$7. |
|
|
||||||||
|
|
значения |
|
|
||||||||
|
|
|
Результат |
(оптимальное |
количество Продукта 1 |
и |
||||||
|
2 |
|
=C2*С$7+D2*D$7 |
|||||||||
|
|
Продукта |
2) |
формируется в |
области С7:D7. |
Клетки, |
в |
|||||
|
3 |
|
=C3*С$7+D3*D$7 |
|||||||||
|
|
которых |
вычисляются |
какие-то |
значения, |
выделены |
||||||
|
4 |
|
=C4*С$7+D4*D$7 |
|||||||||
|
|
жирным шрифтом. Остальное – исходные данные. |
|
|||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Прибыль: |
|
Для оптимизации в Excel используется инструмент |
||||||||
|
6 |
|
=C6*С$7+D2*D$7 |
Поиск решения, вызываемый через меню Сервис, |
||||||||
|
|
|
|
|
который |
предъявляет |
окно |
(рис. |
1). Сначала задается |
|||
ячейка, содержащая оптимизируемое значение (здесь Е2), затем указывается его желаемое значение (у нас максимальное). Можно задать не только максимальное/минимальное значения, но и любую произвольную величину, введя ее в специальное поле (Равной значению:).
Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно их ввода (рис. 2).
После ввода всех ограничений и других условий, следует нажать кнопку Выполнить для решения поставленной задачи.
Если вычисления оказались успешными, Excel предъявит окно итогов, аналогичное окну рис. 1. Их можно сохранить или отказаться (Восстановить исходные значения). Сохраним их. Кроме того, можно получить один из трех видов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы), позволяющие лучше осознать полученные результаты, в том числе, оценить их достоверность.
|
|
|
|
? |
Поиск решения |
$E$6 |
|
Выполнить |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Установить целевую ячейку: |
|
|
|
|
Равной: |
максимальному значению |
значению: 0 |
Закрыть |
|
|
минимальному значению |
|
|
|
Изменяя ячейки: |
|
|
|
|
$C$7:$D$7 |
|
Предположить |
|
|
Ограничения: |
|
|
Параметры |
|
|
|
|
|
|
$C$7:$D$7 >=0 |
|
Добавить |
|
|
$E$2 <= $F$2 |
|
Изменить |
|
|
$E$3 <= $F$3 |
|
|
||
|
|
Восстановить |
||
$E$4 >= $F$4 |
|
Удалить |
||
|
|
|
|
Справка |
|
|
Рис. 1 |
|
|
Добавить ограничения |
|
? |
|
Ссылка на ячейку: |
Ограничение: |
|
|
$C$7:$D$7 |
>= |
0 |
|
ОК |
Отмена |
Добавить |
Справка |
|
Рис. 2 |
|
|
Планирование транспортных перевозок. |
|
|
|
Пусть с трех складов требуется развести грузы в объемах 50, 30 и 40 тонн потребителям в 2 пункта доставки в объеме 40 и 80 тонн (таблица 3). Известна цена перевозки единицы груза с каждого склада в каждый пункт доставки (столбцы С и Е). Наша задача заключается в следующем: определить такие объемы перевозок со складов в пункты доставки, чтобы стоимость транспортировки была минимальной. В таблице 3 искомые значения уже вычислены и обведены жирной рамкой. Видим, что стоимость всего “мероприятия” составляет 1300 руб.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
|
|
Пункт доставки 1 |
Пункт доставки 2 |
||
|
Наличие груза |
Цена |
Объем |
Цена |
Объем |
|
2 |
на складах |
перевозки |
груза |
перевозки |
груза |
|
3 |
Склад 1 |
50 |
10 |
6,40 |
5 |
43,60 |
4 |
Склад 2 |
30 |
20 |
30,00 |
25 |
0,00 |
5 |
Склад 3 |
40 |
15 |
3,60 |
10 |
36,40 |
6 |
ВСЕГО |
120 |
|
40,00 |
|
80,00 |
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
Целевая функция: |
1300,00 р |
|
|
|
|
Рассмотрим, как были получены эти значения. Прежде всего, в ячейку С8 заносим целевую функцию. Здесь это стоимость всех “элементарных” перевозок, вычисляемая как сумма произведений цены на объем груза
С8=C3*D3+E3*F3+C4*D4+E4*F4+C5*D5+E5*F5.
Для решения снова используем инструмент Поиск решения, где введем следующие параметры
Установить целевую ячейку C8 равной минимальному значению.
Изменяя ячейки: |
D3:D5;F3:F5. |
|
|
Ограничения: |
|
|
|
B3=D3+F3 |
– |
объем вывоза с |
1-го склада, |
B4=D4+F4 |
– |
объем вывоза со |
2-го склада, |
B5=D5+F5 |
– |
объем вывоза с |
3-го склада, |
D6=D3+D4+D5 – |
объем доставки в 1-й пункт, |
||
F6=F3+F4+F5 |
– |
объем доставки в 2-й пункт, |
|
F3:F5>=0 |
– |
условие положительности стоимости, |
|
D3:D5>=0 |
– |
условие положительности стоимости. |
|
В данном примере предполагалась перевозка груза, измеряемого в весовых единицах, расфасовка которого по транспортным средствам безразлична, например, жидкости, песка или мелкоштучных грузов. Если же имеется в виду перевозка чего-то
крупного и неделимого, например, грузовых контейнеров, следует ввести дополнительные ограничения на целочисленность перевозимых объемов:
D3:D5=целое и F3:F5=целое.
Результаты в этом случае будут таковы: в первый пункт доставки направляются грузы в объеме 7т, 30т, 3т с каждого из трех складов соответственно, во второй – 43т, 0т, 37т. Значение целевой функции осталось как и прежде – 1300 руб.
Оптимальное планирование инвестиций
Пять проектов конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании. В таблице 4 отражены наличные деньги, которые могут быть получены на вложение одного доллара. Например, проект А – инвестиции, которые можно сделать в начале первого года на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 30 центов на вложенный доллар, а в конце следующего года можно дополнительно получить еще 1 долл. Максимальная сумма, которая может быть вложена в проект составляет 500 000 долл. Проект В аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в конце следующего года и т.д. Деньги, полученные в результате инвестиций можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году. Всего у компании имеется 1000 000 долл. для инвестиций. Сформировать инвестиционный портфель таким образом, чтобы прибыль была максимальна.
|
|
|
|
|
Таблица 4. |
|
Год |
Эффективность инвестиционного проекта на один вкладываемый доллар |
|
||||
А |
В |
С |
Д |
Е |
||
|
||||||
Первый |
-1, 00 |
0 |
-1,00 |
-1,00 |
0 |
|
Второй |
+0,30 |
-1,00 |
+1,10 |
0 |
0 |
|
Третий |
+1,00 |
+0,30 |
0 |
0 |
-1,00 |
|
Четвертый |
0 |
+1,00 |
0 |
+1,75 |
+1,40 |
|
Введем обозначения: a1, b2, c1, d1, e3 – инвестиции в проекты A, B, C, D, E соответственно, индексы указывают первый, второй, третий годы вложения инвестиций. Обозначим s1, s2, s3 – суммы, которые можно вложить в банк на короткий срок под 6% годовых соответственно в первом, втором, третьем годах.
Соотношения, из которых можно вычислить оптимальные величины вложений: а) в первом году во все проекты должна быть вложена сумма 1000 000 долл.:
1000 000 – (a1 + c1 + d1 + s1)= 0;
б) баланс на второй год:
0,3 a1 - b2+ 1,1 c1 + 1,06 s1 - s2 = 0;
в) баланс на третий год:
a1 + 0,3 b2 - e3 + 1,06 s2 - s3 = 0;
с) максимальный доход к четвертому периоду:
b2 + 1,75 d1 + 1,4 e3 + 1,06 s3 → max;
д) в проект А за первый год не может быть вложено более 500 000 долл.: a1≤500 000;
е) необходимое условие неотрицательности переменных: a1, b2, c1, d1, e3, s1, s2, s3 ≥ 0.
1.Создайте шаблон для решения поставленной задачи.
2.Найдите оптимальные значения a1, b2, c1, d1, e3, s1, s2, s3, используя инструмент Поиск решения.
Результаты решение задачи и образец оформления представлены на рис.3. .
Рис. 3