f1_8_2008

Чотирикутник MOPK, зображений на рис. 7 а – г, відносно прямих MO і MK лежить в одній півплощині (рис. 7 а – б). Відносно ж прямих OP і PK чотирикутник MOPK лежить у різних півплощинах (рис. 7 в – г), тобто прямі OP і PK поділяють його на дві частини.

Неопуклим (вгнутим) чотирикутником називають чотирикутник, для якого існує пряма, що містить його сторону і відносно якої він лежить у різних півплощинах.

Далі ми вивчатимемо лише опуклі чотирикутники.

Властивість кутів опуклого чотирикутника.

На рис. 8 в опуклого чотирикутника АВСD всі чотири його кути менші від розгорнутого. У неопуклого чотирикутника МОРK (рис. 9) три кути менші від розгорнутого, а один кут більший від розгорнутого — кут K.

Властивість кутів опуклого чотирикутника безпосередньо випливає з означення опуклого чотирикутника. Якщо чотирикутник опуклий, то кожний його кут лежить в одній півплощині відносно прямої, що містить його сторону, отже, є меншим від розгорнутого.

Властивість діагоналей опуклого чотирикутника.

В опуклому чотирикутнику ABCD (рис. 10) діагональ АС належить йому та поділяє його на два трикутники: ABС і АСD. Аналогічно діагональ BD належить йому та поділяє його на два трикутники: ABD і CBD. У неопуклому чотирикутнику ABCD (рис. 11) така властивість притаманна лише для однієї діагоналі — діагоналі BD; діагональ АС не поділяє чотирикутник на два трикутники.

(рис. 12). Доведемо, що A + B + C + D = 360°.

Проведемо одну з його діагоналей, наприклад, AC. Вона поділить чотирикутник ABCD на два трикутники ABC і ADC. Кути, на які діагональ поділяє кути чотирикутника, позначимо як 1–4. За теоремою про суму кутів трикут-

ника: 1 + В + 3 = 180° (для трикутника ABC), 2 + D + 4 = 180° (для трикутника ADC). Почастинно додамо отримані рівності:

1 + В + 3 + 2 + D + 4 = 180° + 180°.

( 1 + 2) + B + D + ( 3 + 4) = 360°; A + B + D + C = 360°. ●

Зауваження. Доведена теорема справедлива і для не опуклих чотирикутників. Для доведення теореми необхідно провести ту діагональ, яка поділяє його на два трикутники.

4.Ознаки опуклого чотирикутника.

Означення опуклого чотирикутника задає основну ознаку-умову, за якою можна встановити, чи є опуклим заданий чотирикутник. Це розміщення чотирикутника в одній півплощині відносно кожної прямої, яка містять його сторони.

Встановимо інші ознаки опуклості чотирикутника.

Ознака за кутами.

Теорема

Якщо в чотирикутнику кожний з кутів менший від розгорнутого, то цей чотирикутник є опуклим.

Ця ознака є безпосереднім наслідком властивостей опуклого та неопуклого чотирикутників.

Приклад. Встановити, яким є чотирикутник (опуклим чи неопуклим), якщо його три кути дорівнюють: 1) 70°; 150°; 100°; 2) 30°; 40°; 100°.

Розв’язання

● 1. Знаходимо четвертий кут чотирикутника: 360°– (70° + 150° + 100°) = 40°.

У чотирикутнику всі кути менші від розгорнутого. Отже, він опуклий.

2. Четвертий кут чотирикутника дорівнює: 360°– (30° + 40° + 100°) = = 360° – 170° = 190°. У чотирикутнику один з кутів більший від розгорнутого. Отже, чотирикутник неопуклий. ●

Ознака за діагоналями.

Теорема

Якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються, то він є опуклим.

● Доведення. Нехай ABCD — довільний чотирикутник, в якого діагоналі перетинаються. Доведемо, що чотирикутник ABCD — опуклий.

Зперетину діагоналей випливає, що протилежні вершини чотирикутника лежать

зрізних боків від прямої, яка проходить через дві інші вершини.

Наприклад, вершини B і D лежать з різних боків від прямої AC (рис. 13 а). Тоді кут B чотирикутника є і кутом трикутника ABC, а кут D є і кутом трикутника ADC. Як кути трикутника, кути B і D менші від розгорнутого.

Рис. 13

Аналогічно кути A і C чотирикутника ABCD є відповідно кутами трикутників ABD і CBD (рис. 13 б), а, отже, вони менші від розгорнутого. Таким чином, у чотирикутнику ABCD всі кути менші від розгорнутого. Звідси випливає, що чотирикутник ABCD — опуклий. Теорему доведено. ●

1.Зобразити чотирикутник MNKL, затушувати його внутрішню область і провести його діагоналі. а) Записати: пари протилежних вершин; пари протилежних сторін; діагоналі чотирикутника; б) накреслити сторони кута М чотирикутника; в) накреслити відрізок, який дорівнює периметру чотирикутника.

2.Накреслити опуклий чотирикутник MPOL. Провести прямі, які містять сторони чотирикутника. Пояснити, який чотирикутник називають опуклим. Записати властивості: а) кутів чотирикутника; б) діагоналей чотирикутника.

3.Накреслити неопуклий чотирикутник AODK з кутом А, більшим від розгорнутого. Провести діагоналі чотирикутника і назвати їхні властивості.

Задача 2. Знайти кути чотирикутника, якщо вони пропорційні до чисел 1, 2, 3 і 4.

Розв’язання

● Позначимо кути даного чотирикутника x, 2x, 3x і 4x. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то x + 2x + 3x + 4x = 360°. Отримуємо: 10x = 360°; x = 36°. Тоді 2x = 72°; 3x = 108°; 4x = 144°.

Відповідь: 36°; 72°; 108°; 144°. ●

Задача 3. Побудувати чотирикутник ABCD, у якого сторони AB й AD дорівнюють відрізку а, сторони BC і DС — відрізку b, а діагональ АС — відрізку d.

Розв’язання

●Дано: а і b — сторони чотирикутника ABCD, d — його діагональ. Побудувати: чотирикутник ABCD.

Аналіз

Нехай задано чотирикутник ABCD і його діагональ AC (рис. 16). Очевидно, що для побудови чотирикутника досить побудувати трикутник АВС за відомими трьома сторонами а, b і d та трикутник ACD за сторонами а, b і d.

Рис. 17

2.Будуємо коло з центром у точці A, радіус якого дорівнює a, і коло з центром у точці C, радіус якого дорівнює b. Точки перетину кіл позначимо через B і D (рис. 17 б).

3.Послідовно сполучаємо відрізками точки A, B, C і D (рис. 17 в). Утворений чотирикутник ABCD — шуканий. ●

Окремі види чотирикутників трапляються вже в давніх єгипетських і вавилонських рукописах. Зокрема, записи про чотирикутники містить папірус «Ахмес» (близько 2000 років до н. е.). Знання про окремі види чотирикутників викладені й у «Началах» Евкліда. Цілісна теорія чотирикутників і сучасна термінологія розроблена наприкінці середніх віків.

Логічно послідовний виклад теорії чотирикутників містить «Підручник з елементарної геометрії» одного з найвидатніших математиків ХІХ століття, українського вченого Михайла Васильовича Остроградського. Він писав, що найперше чотирикутники поділяють на опуклі й неопуклі. Чотирикутник буде опуклим, відзначав Остроградський, «коли весь лежить з одного боку від кожної зі своїх сторін, на скільки б остання не була продовжена».

Термін діагональ походить від поєднання двох грецьких слів: діа — «через, крізь» і гоніа — «кут», тобто означає «той, що йде від кута до кута». Загальновживаним термін став лише у ХVIII столітті. Евклід і більшість старогрецьких вчених користувалися іншим терміном для позначення відрізка, який сполучає протилежні вершини чотирикутника — діаметр.

1.На рис. 18 зображено чотирикутник з вершинами А, В, С і D. а) Яке з позначень — BCDA чи ACDB — є правильним?

б) Назвати вершини чотирикутника, які є сусідніми з вершиною А. в) Назвати сторони чотирикутника, сусідні зі стороною ВС.

г) Назвати сторони чотирикутника, протилежні до сторони СD. д) Назвати кут, протилежнийкутуС.

е) Назвати діагоналі чотирикутника і відрізки, на які вони поділяються точкою перетину.

Рис. 18

2.Три сторони чотирикутника дорівнюють 3 см, 7 см і 9 см, а його периметр — 36 см. Знайти четверту сторону.

3.Знайти периметр чотирикутника, якщо одна його сторона дорівнює 25 см і вона менша від кожної іншої сторони відповідно на 2 см, 10 см, 13 см.

4.Периметр чотирикутника дорівнює 64 см. Знайти сторони чотирикутника, якщо вони пропорційні до чисел 2, 3, 4 і 7.

5.Чи можуть в опуклого чотирикутника бути: а) два прямих кути; б) три гострих кути; в) три тупих кути?

6.Знайти кути опуклого чотирикутника, якщо вони пропорційні до чисел

2, 5, 8 і 9.

7.У чотирикутнику АВСD В = С, А = 100°, D = 40°. Знайти зовнішній кут при вершині С.

8.Обчислити зовнішній кут опуклого чотирикутника при вершині D, якщо

А = 40°, В = 150°, С = 100°.

11. Побудувати чотирикутник ABCD, у якого AD = 5 см, A = 80°,

D = 70°, AB = 4 см і DC = 3 см.

12.Знайти кути чотирикутника АВСD, якщо відомо, що один з кутів утричі менший від кожного з інших.

13.У чотирикутнику MNKP сторони NK і MP паралельні. Визначити кути N

і P, якщо М = 41°, K = 125°.

14.Периметр чотирикутника дорівнює 29 см. Знайти довжину діагоналі, яка поділяє його на два трикутники з периметрами 26 см і 27 см.

15.Знайти периметр чотирикутника, у якого діагональ завдовжки 15 см поділяє його на трикутники з периметрами 32 см і 33 см.

16.Довести, що найменший кут чотирикутника не може бути тупим.

17.Довести, що в чотирикутнику один з кутів не може дорівнювати сумі трьох інших кутів.

18.В опуклому чотирикутнику ABCD діагональ BD поділяє навпіл кут B, а сусідні сторони AB і BC рівні. Довести, що сусідні сторони АD і CD також рівні.

19.В опуклому чотирикутнику MOKL усі сторони рівні. Довести, що кути O і L чотирикутника рівні.

20. Побудувати чотирикутник ABCD зі сторонами AB = 2 см; AD = 4 см; CD = 3 см, діагоналлю AC = 5 см і A = 120°.

21.Побудувати чотирикутник ABCD зі сторонами AB = 4 см, AD = 6 см і CD = 2 см і діагоналями AC = 7 см, BD = 2 см.

22.Знайти сторони чотирикутника, периметр якого дорівнює 82 см, якщо перша його сторона на 2 см більша від другої, удвічі менша від третьої й становить третю частину четвертої сторони.

23.В опуклому чотирикутнику ABCD AB = BC і AD = CD. Довести, що діагоналі чотирикутника перпендикулярні.

24.У чотирикутнику ABCD діагональ AC поділяє кути A і C навпіл. Периметр чотирикутника дорівнює 32 см, а сторона AB — 7 см. Знайти три інші сторони чотирикутника.

25.Побудувати чотирикутник за трьома кутами та двома сторонами, який утворюють четвертий кут.

26.Побудувати чотирикутник за чотирма сторонами та діагоналлю.

27.Побудувати чотирикутник за чотирма сторонами та кутом.

28.Позначити точки A, B і C, які не лежать на одній прямій. Знайти усі можливі положення точки D, за яких чотирикутник ABCD є опуклим. Затушувати відповідну частину площини.

29.Позначити точки M, O і P, які не лежать на одній прямій. Знайти усі можливі положення точки K, за яких чотирикутник MOPK є неопуклим.

Середній рівень

1.На прикладі пояснити, яку фігуру називають: а) ламаною; б) простою ламаною; в) замкненою ламаною.

2.Накреслити чотирикутник і пояснити, яку фігуру називають чотирикутником.

3.На прикладі пояснити, що в чотирикутнику називають: а) діагоналлю; б) кутом.

4.Накреслити опуклий і неопуклий чотирикутники. Який чотирикутник називають опуклим?

5.Яку властивість в опуклому чотирикутнику мають: а) кути; б) діагоналі?

6.Чому дорівнює сума кутів чотирикутника?

Достатній рівень

7.Сформулювати і довести теорему про суму кутів чотирикутника.

Високий рівень

8.Сформулювати і довести властивість діагоналей опуклого чотирикутника.

9.Сформулювати ідовестиознакуопуклогочотирикутниказа діагоналями.