f1_8_2008

Анатолій Капіносов Лариса Кондратьєва

ГЕОМЕТРІЯ

Пробний підручник для 8 класу

Тернопіль Видавництво «Підручники і посібники»

2008

ЮНІ ДРУЗІ!

Ми продовжуємо вивчення однієї з основних математичних дисциплін — геометрії. У 8 класі ми поглибимо знання про вже відомі геометричні фігури — паралельні прямі, кути, трикутники, досліджуватимемо нові геометричні фігури — многокутники, й зокрема, чотирикутники та їхні види. Основним методом здобуття знань будуть міркування. Перед вами розкриватиметься цінність, краса та практична значимість геометричних знань.

Матеріал, який ми вивчатимемо, поділено на чотири розділи, тринадцять параграфів, а великі параграфи — на пункти.

Кожен параграф чи пункт містить виклад теоретичного матеріалу: означення, теореми та їх доведення. Означенням і теоремам, як правило, передують конкретні приклади. Виклад теорії супроводжується рисунками, які відображають послідовність виконуваних побудов. Усе це призначене для того, щоб полегшити розуміння тексту. Доведення деяких теорем подані в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше». Під цією рубрикою містяться й інші відомості, які розширюють і поглиблюють основний зміст тем.

Після викладу теоретичної частини кожної теми подано систему завдань у відповідній рубриці. Їх призначення — допомогти краще зрозуміти, осмислити, запам’ятати елементи теорії та набути найпростіших навичок оперування геометричними знаннями про фігури.

Задачі на застосування теорії за складністю розділені на три групи — «Рівень A», «Рівень Б» і «Рівень B». Задачі групи «А» відповідають середньому рівню навчальних досягнень, групи «Б» — достатньому, а групи «В» — високому рівню. Задачі, призначені для домашньої роботи, виділені кольором, а задачі, які стануть у нагоді в подальшому вивченні геометрії (опорні), позначені значком, наприклад,.

Учитися розв’язувати задачі допоможе рубрика «Приклади розв’язання задач».

Наприкінці кожного параграфа подані запитання і завдання для перевірки оволодіння теоретичним матеріалом. Вони теж диференційовані за трьома рівнями — середнім, достатнім і високим.

Щиро бажаємо успіху!

§ 1. ЧОТИРИКУТНИКИ

1.Ламана.

Рис. 1

Нехай дано скінченне число точок, наприклад, п’ять (рис. 1 а). Послідовно сполучимо дані точки відрізками у послідовності: А → В → С → D → E (рис. 1 б). Отримали фігуру, яку називають ламаною ABCDE. На рис. 1 в дані точки сполучили в іншій послідовності й отримали ламану ADСВE.

Ламаною лінією, або ламаною, називають фігуру, яка складається зі скінченного числа точок — вершин і відріз-

Означення ків, які їх послідовно сполучають, — ланок.

При цьому жодні три послідовні вершини не лежать на одній прямій.

Позначають ламані за вершинами у послідовності їх сполучення. Першу та останню вершини називають кінцями ламаної. Дві ланки, які мають спільну вершину, називають сусідніми. Наприклад, у ламаної ABCDE (рис. 1 б) АВ та ВС — сусідні ланки, АВ та СD — несусідні.

2.Проста ламана.

Уламаної ABCDE (рис. 1 б) немає точок самоперетину: жодні дві її несусідні ланки не мають спільної точки. Таку ламану називають простою. Ламана ADСВE (рис. 1 в) має точку самоперетину: дві несусідні ланки АD та ВЕ перетинаються. Ця ламана не є простою.

Означення Простою ламаною називають ламану, в якої несусідні ланки не мають спільних точок.

Рис. 2

Якщо сполучити відрізком АD кінці ламаної ABCD (рис. 2 а), то отримаємо нову ламану з тими ж вершинами та доданою ланкою АD (рис. 2 б). Кінці в нової ламаної збігаються. Природно таку ламану назвати замкненою.

Позначаючи замкнену ламану, кожну вершину записують один раз. У замкненої ламаної ланок стільки, скільки вершин. Наприклад, замкнена ламана MOPKL складається з п’яти вершин: M, O, P, K і L та п’яти ланок: MO, ОP, РK, KL і KL. У замкненої ламаної будь-яку вершину можна прийняти за її кінець.

1.Накреслити просту незамкнену ламану, яка складається із: а) двох ланок; б) чотирьох ланок.

2.Накреслити незамкнену ламану, яка складається з чотирьох ланок і не є простою.

3.Накреслити просту замкнену ламану, яка складається з: а) чотирьох ланок; б) шести ланок.

4.Скільки вершин і ланок має: а) проста ламана MPKO; б) проста замкнена ламана АВML? Назвати їх.

5.Якою — замкненою чи незамкненою — є проста ламана, якщо в неї: а) чотири вершини та чотири ланки; б) чотири вершини та три ланки; в) п вершин і п ланок?

6.Скільки найменше ланок може бути у простої ламаної, якщо вона: а) незамкнена; б) замкнена? Накреслити такі ламані.

7.Накреслити просту замкнену ламану, яка складається з трьох ланок. Яку фігуру вона утворює разом з областю, що обмежує?

1.Чотирикутник і його елементи.

Рис. 3

На рис. 3 а – в зображено фігури, кожна з яких складається з чотирьох відрізків, що утворюють просту замкнену ламану, та частини площини, обмеженої цією ламаною. Такі фігури називають чотирикутниками.

Чотирикутником називають фігуру, що складається з Означення простої замкненої ламаної, утвореної чотирма ланками, та

частини площини, яку обмежує ламана.

Вершини та сторони.

Ланки ламаної, які утворюють чотирикутник, називають сторонами чотирикутника, а їхні кінці — його вершинами. З означення простої замкненої ламаної випливає, що жодні три вершини чотирикутника не лежать на одній прямій. Частину площини, обмежену сторонами чотирикутника, нази-

вають внутрішньою областю чотирикутника. Позначають чотирикутник за вершинами, як і відповідну ламану. Наприклад, на рисунку 3 а зображено чотирикутник ABCD.

Дві вершини чотирикутника, які є кінцями однієї його сторони, називають сусідніми, а вершини, які не є кінцями однієї сторони, — протилежними. Сторони чотирикутника, які мають спільну вершину, називають сусідніми, а сторони, які не мають спільної вершини, — протилежними. У кожного чотирикутника дві пари протилежних вершин і дві пари протилежних сторін.

На рис. 3 а зображено чотирикутник ABCD. Точки A, B, C і D — його вершини, відрізки АВ, ВС, СD і DА — сторони. Внутрішню область затушо-

вано. A і C, B і D — пари протилежних вершин, АВ і СD та АD і ВС — пари протилежних сторін.

У будь-якому чотирикутнику кожна сторона менша від суми трьох інших сторін (див. приклади розв’язання задач на с. 15).

Периметром чотирикутника називають суму довжин усіх його сторін. Позначають його літерою Р. PABCD = АВ + ВС + СD + DА.

Рис. 4

У чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD, а в чотирикутнику MOPK — діагоналі MP і OK (рис. 4).

Кут.

Нехай дано чотирикутник ABCD (рис. 5 а). При вершині А побудуємо кут, сторонами якого є промені АВ та АD, що містить внутрішні точки чотирикутника (рис. 5 б). Такий кут називають кутом чотирикутника АВСD при вершині А. На рис. 5 в зображено кут чотирикутника ABCD при вершині B.

Рис. 5

У кожного чотирикутника є чотири кути. Кути при двох протилежних вершинах називають протилежними, а кути при сусідніх вершинах — сусідніми, або прилеглими до однієї сторони.

Кут, суміжний із кутом чотирикутника, називають зовнішнім кутом чотирикутника.

2.Опуклі та неопуклі чотирикутники та їхні властивості.

Означення опуклого та неопуклого чотирикутників.

Чотирикутники поділяють на опуклі й неопуклі (вгнуті).

Рис. 6

На рис. 6 а – г зображено чотирикутник ABCD. Він лежить в одній півплощині (з одного боку): відносно прямої AB (рис. 6 а), прямої BС (рис. 6 б), прямої CD (рис. 6 в) і прямої AD (рис. 6 г). Можна сказати інакше: жодна з прямих, яка містить сторони чотирикутника, не поділяє його на частини. Такий чотирикутник називають опуклим.

Опуклим чотирикутником називають чотирикутник,

Означення який лежить в одній півплощині відносно кожної прямої, яка містить його сторону.

Рис. 7