2. Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания. принимают два значения u и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

Определение 1. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q( х) называется новый предикат Р(х)& Q( х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката P(x)&Q(x) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть пересечение

Так, например, для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(х): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)&Q(x) является предикат «x– четное число» и «х кратно 3», то есть предикат «x делится на 6».

Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) ∨Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что область истинности предиката Р(х) ∨Q(х) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть объединение.

Определение 3. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат Р(х), который принимает значение «истина» при всех значениях . при которых предикат Р( х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что .

Определение 4. Импликацией предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) → Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(x) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном справедлива равносильность, то

.

3. Кванторные операции

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если а – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду c образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

1.Квантор всеобщности. Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

Соответствующее ему словесное выражение будет «Для всякого х Р(х) истинно». Символ называют квантором всеобщности. Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказываниипеременную х называют связанной квантором.

2. Квантор существования. Пусть Р(х) – предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент, для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует х, при котором Р(х) истинно». Символназывают квантором существования. В высказываниипеременная х связана квантором.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,y) одноместный предикат(или одноместный предикат) , зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменнойy, которые приведут уже высказываниям следующих видов:

,,,

Например, рассмотрим предикат Р(х,у): «х:у», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р( х, у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. – «Для всякого у и для всякого х у является делителем х».

2. – «Существует у, которое является делителем всякого х».

3. , – «Для всякого у существует х такое, что х делится на у».

4. – «Существует у и существует х такие, что у является делителем х».

5. – «Для всякого х и для всякого у у является делителем х».

6. «Для всякого х существует такое у, что х делится на y».

7. «Существует х и существует у такие, что у является делителем х».

8. – «Существует х такое, что для всякoгo у х делится наy».

Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.

Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и eгo логическое значение (например, высказывания 3 и 8).

Рассмотрим предикат Р(х), определенный на множестве , содержащем конечное число элементов. Если предикат Р( х) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания. При этом истинными будут высказываниеи конъюнкция.

Если же хотя бы для одного элемента окажется ложным, то ложными будут высказываниеи конъюнкция, следовательно, справедлива равносильность.

Нетрудно показать, что справедлива и равносильность

.

Отсюда видно, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.