2. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Оценки коэффициентов регрессии иявляются тем надежнее, чем меньше их дисперсиии, т.е. чем меньше их разброс вокруги. Надежность оценок тесно связана с дисперсией случайных отклонений. Фактическиявляется дисперсией переменнойYотносительно линии регрессии, т.е..

Запишем формулы связи дисперсий оценок коэффициентов с дисперсией случайных отклонений. Для этого представим формулы определения ив виде линейных функций относительно значений переменнойY:

;

.

Так как дисперсия переменной Yпостоянна и не зависит от значений переменнойX, тоиможно рассматривать как некоторые постоянные. Следовательно:

, (1)

. (2)

Из (1) и (2) можно сделать следующие выводы:

• дисперсии оценок ипрямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения, следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки;

• чем больше число наблюдений n, тем меньше дисперсии оценок, т.е. тем вероятнее получение более точных оценок;

• чем больше дисперсия объясняющей переменной (шире область изменений значений: ), тем точнее будут оценки.

В силу того, что случайные отклонения по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются оценками,.

Дисперсия случайных отклонений заменяется ее несмещенной оценкой.– этонеобъясненная дисперсия, т.е. доля разброса зависимой переменной не объясненная регрессией.

Тогда выборочные исправленные дисперсии имеют вид:

;.

Корень квадратный из необъясненной дисперсии называетсястандартной ошибкой регрессии.

Соответственно иназываютсястандартными ошибками коэффициентов регрессии.

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

При проведении статистического анализа возникает необходимость сравнения оценок коэффициентов регрессии ис теоретически ожидаемыми значениямии. Такой анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез.

Гипотеза подлежащая проверке, называетсянулевой (основной).

Гипотеза , которая принимается при отклонении, называетсяальтернативной (конкурирующей).

Для проверки гипотез ,, используетсяt–статистика, которая при справедливости гипотезыимеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, гдеn– объем выборки.

Гипотеза отклоняется, если, где– требуемый уровень значимости,– критическая точка.

На начальном этапе важно установить наличие линейной зависимости между переменными XиY. Эта задача может быть решена по аналогичной схеме:

,.

Гипотеза в такой постановке называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. Если гипотезапринимается, то коэффициентстатистически незначим, т.е. близок к нулю. Если гипотезаотклоняется, то коэффициентстатистически значим, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между переменнымиXиY.

Поскольку считается, что , то значимость оценки коэффициента регрессиипроверяется с помощьюt–статистики, которая при справедливости гипотезытакже имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы.

Для t–статистики проверяется нулевая гипотеза о равенстве ее нулю, что равносильно, что свидетельствует об отсутствии линейной связи между переменнымиXиY.

Гипотеза отклоняется на основании критерия.

По аналогичной схеме на основе t–статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента.

При оценке значимости эмпирических коэффициентов линейной регрессии можно использовать «грубое» правило:

• если , то коэффициент не может быть признан значимым, так как доверительная вероятность составит менее чем 0,7;

• если , то найденная оценка может рассматриваться как относительно (слабо) значимая. Доверительная вероятность в этом случае лежит между 0,7 и 0,95;

• если , то это свидетельствует о значимой линейной связи междуXиY. В этом случае доверительная вероятность колеблется от 0,95 и 0,99;

• если , то это почти гарантия наличия линейной связи.