47.Метод наименьших квадратов

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:

x	Х1	X2	…	xn
y	Y1	Y2	…	yn

Известен также вид функциональной зависимости, т.е.

y=f(x,,,…,)=φ(x) (1),

где f-заданная функция; ,,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями ,приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек(i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε, и назовемпогрешностью:

-φ()=ε(i = 1, 2,..., п) (2) .

Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) тре­буется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция

u=ε= ( -φ()) (3)

принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (3) является функцией т+1 переменых ,,..., а_т ,т.е.

и=и(,, ...., а_т)=(-f(,,,…,))² (4).

Если функция и=и(,..., а_т) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений

=0, =0, …,=0 (5)

Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения пара­метров a₀,a₁ ,...,a_m.

Во многих случаях функция (1) определяется формулой

y= (x), (6)

где (x),(x),..., f _т ( x )- известные функции, например, f(x)=x,f(x)=sin kx, f(x)=cos kx и т.д.

Функция (4) в таких случаях принимает вид

u=y-()) (7),

а система (5) запишется так:

(-())(-())=0 (-())(-())=0(8)

…………………………………….

(-())(- ())=0

Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Если (x)= (k = 0, 1, 2,..., m), то

f(x,,,…,)=+x++…+

+ (9)

и система (8) принимает вид:

n++…+

=;

++…+=; (10)

++…+*

*=.