19. Решение методом Крамера

Метод решения систем лин. Уравнений методом Крамера: Рассмотрим систему . Пусть m=n ,пусть матрица системыА-не вырождена det A≠0. Тогда система имеет единств. Решение, кот. Определяется по формулам Крамера: х_i= i= где △-определитель А, △_i-полученое из ⃓△⃓ заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пример: A= B=

X=

△79≠0 △₁==395, △₂==-158, △₃==237

X₁===5, X₂= ,

X₃=

20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.

Любые колениарные векторы,3 комплонарных вектора,4-и более векторов в трёхмерном пространстве всегда линейнозависимы. 3 упорядоченных линейно-независимых вектора _{1 23} наз. базисом. Упорядоченная тройка некомплонарных векторов всегда образует базис трёхмерного пространства. Неколинеарная пара упорядоченных векторов образует базис двухмерного пространства. В n-мерном пространстве любая упорядоченная линейно-независимая система n-векторов образует базис. Любой вектор можно разложить в виде линейной комбинации базисных векторов. =x₁+y₂+z₃, где x,y,z наз. координатами вектора в базисе ₁, ₂, _3.Базис наз. ортонормированным, если его векторы взаимноперпендикулярны и имеют единую длину. Такой базис обозначают , , .

21. Матрица и её экономический смысл. Операции над матрицами.

Прямоугольная таблица составленная изmxn элементов a_ij, где i==1,2,3,…,m, j= некоторого множества называется матрицей и записывается в виде:

A=

Элементы матрицы нумеруются 2-мя индексами:

1. i – означает номер строки

2. j – номер столбца

на пересечении которых стоит элемент.

Если у матрицы m строк и n столбцов, и говорят, что её размерность mxn. (А_mxn)

Матрицы наз. равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны.

А_mxn= В_mxn, если a_ij=b_ij

Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = п), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец).

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. (А_1х1)

Квадратная матрица, у кот. все элементы, кроме элементов a_ij, равны нулю наз. диагональной (элементы a_ij могут быть равны, где i=1,n, при этом элементы a_ij составляют главную диагональ кв. матрицы, а вторая диагональ наз. побочной).

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О).

Операции над матрицами:

1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно склады­вать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Так, если

то их суммой является матрица

2) Произведение матрицы на число. Произведением матрицы А на число А, называется матрица В, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. (b_ij= λ • a_ij). Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

3) Произведение матриц А_mxn и В_nxp назыв. матрица С размерности С_mxp, каждый элемент которой c_ij = a_i1 • b_ij + a_i2 • b_2j + a_i3 • b_3j + a_in •b_nj.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными или коммутирующими.