67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакопеременными наз. ряды, члены которых являются действитель-ными числами любого знака.Пусть дан такой ряд
Рассмотрим ряд,составленный из модулей членов дан-
ного ряда
Теорема
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Доказательство
Поскольку ряд(2) сходится, то в силу критерия Коши для
Любого
cуществует
такой номер N=N(
),что
при всех n>N
и любом целом р
ВЫПОЛНЯЕТСЯ НЕРАВЕНСТВО
Так как
То
.
Это означает, что ряд (1) также сходится.
Замечание
Из сходимости ряда (1) не следует сходимость ряда (2) . Например, ряд
cходится,
а ряд из модулей его членов расходится
(гармонический ряд).
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов.Например, ряд
Является абсолютно сходящимся, поскольку сходится ряд из модулей его членов, т. ею ряд
(геометрическая прогрессия со знаменателем q=0,5,[q]<1).
Знакопеременный ряд наз. неабсолютно сходящимся (условно сходящимся),если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится. Например, ряд
Является неабсолютно сходящимся (см. замечание).
68.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любых два члена с номерами n и n+1 (n=1, 2, 3,……) имеют противоположные знаки, т.е. ряд вида
Где аn›0 (n=1, 2, 3,…)
Теорема (признак Лейбница)
Знакочередующий ряд сходится, если модули его членов убывают с возрастанием n и общий член стремится к нулю, т. е.
аn+1‹аn (n=1, 2, 3,…)
2
и
=0
3
Доказательство
Рассмотрим частичные суммы ряда с четными и нечетными номерами:
S2m=a1-a2+a3-…+a2m-1-a2m,
S2m+1= a1-a2+a3-...a2m-1-a2m+a2m+1
Преобразуем первую из этих сумм:
S2m= (a1-a2) + (a3-a4) +…+ (a2m-1-a2m),
S2m= a1 – (a2-a3) – (a4-a5) -...- (a2m-2-a2m-1) –a2m.
В
силу условия разность в каждой скобке
положительна, поэтому S2m›S2m-2
и S2m‹a1
для всех m.
Итак, последовательность четных частичных
сумм {S2m}
является монотонно возрастающей и
ограниченной. Она имеет предел, который
обозначим через S,
т. е. 
.
Поскольку S2ь+1=S2m+a2m+1,
то, принимая во внимание предыдущее
равенство и условие, получаем
Итак,
последовательности частичных сумм
данного ряда соответственно с четными
и нечетными номерами имеют один и тот
же предел S.Отсюда
следует, что последовательность всех
частичных сумм ряда имеет предел S;
,
т. е.ряд сходится.
Пример
Исследовать сходится ли ряд
+….
4
Этот ряд явл. Знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы
<
Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы.
Теорема
Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю.
Доказательство
Рассмотрим
остаток ряда (1) после 2m
членов. Пусть 
–
его сумма,
r2m=a2m+1-a2m+2+a2m+3-a2m+4+a2m+5-….,
2n=
(a2m+1-a2m+2)+(a2m+3-a2m+4)+…..+(a2m+2n-1
-a2m+2n),
2n=
a2m+1-(a2m+2-a2m+3)-…..-a2m+2n
,
Так
как выполнены условия теоремы Лейбница,
то 
2n>0
и
2n<a2m+1
при всех n,
т.е. 0<
2n<a2m+1
(n=1,2,3,….)
Откуда
Или
r2m
2m+1
Аналогично доказывается, что сумма
R2m-1 остатка ряда после 2m-1 членов (r2m-1=-a2m+a2m+1-a2m+2+a2m+3-….) удовлетворяет условиям
0<-r2m-1<a2m,т.е.
r2m-1<0
[r2m-1]
Следовательно, независимо от четности или нечетности n
[rn]
an+1