Теорема

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним переделом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т.е.

Ф’(х) = ƒ(х).

Доказательство.

Аргументу х функции придадим приращение Δх такое, что[a, b], ему соответствует приращение функции

Применяя формулуполучаем= х + θΔх, 0< θ<1.

Итак, ΔФ = ƒ(ξ)Δх, откуда

θΔх) = ƒ(х), т.е.

или

что и требовалось доказать.

Следствие. Определенный интеграл верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Формула Ньютона – Лейбница.

Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ,а функция F(x)—какая-л. ее первообразная (т.е. F’(x)=f(x)), то

56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.

площадь S криволинейной трапеции abAB, ограниченной кривой y=f(x), f(x)0

о

y

сьюOx и двумя прямыми x=a x=b, вычисляется по формуле

y=f(x)

а

b

x

A

B

Е

y

сли плоская фигураABCD ограничена прямыми x=a, x=b(a<b) и кривыми y=f(x) y=φ(x), причем φ(x)≤ f(x), a≤x≤b,то ее площадь вычисляется по формуле

x

A

B

C

D

y=φ(x)

y=f(x)

Объем тела, образованного вращением кривой y = f(x), ограниченной прямыми х = а, x = b при a < x < b вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямыми y = c, y = d при c < y < d вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:

58 Интегралы с бесконечными пределами:

Пусть ф-ия непрерывна при любом.Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

(1)

Интеграл (1)является дифференцируемой ф-уй верхнего предела. Предположим ,что при ф-ия (1)имеет конечный предел ;этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от ф-ии по промежуткуи обозначается

(2)

Если предел (2) не существует или равен бесконечности , то несобственный интеграл называется расходящимся.

р.1 р.2

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной ф-ии выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-ии , слева – отрезком прямой,снизу- осьюOX (р.1) ( в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной , в случае расходящегося- бесконечной).

Если первообразная для ,то

(3)

Где.(4)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечными пределами

(5)

Где с-любая точка из интервала

Приведем без доказательства две теоремы ,с их помощью можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов.

Теорема 1

Если при выполнены неравенстваисходится, то сходится и, причем;еслирасходится ,то расходится.

Геометрическое значение этой теоремы иллюстрируется на р.2

Теорема 2

Если в промежутке ф-ияменяет знак исходится, то сходится также. .