51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

1.Метод подведения под знак диф. Заключается в том, что некоторые сомножетели подинтегральной функции подводятся под знак диф, после чего используется подходящий табличный интеграл.2.Интегралы вида ∫ sin mx cos nx dx; ∫sin mx sin nx dx;

∫ cos mx cos nx dx применяются следующие формулы: sin mx cos nx= ½ (sibn (m+n)x+sin(m-n)x); sin mx sin nx= ½(cos(m-n)x-cos(m+n)x); cos mx cos nx=1/2(cos(m-n)x+cos(m+n)x).3.Интегралы вида:∫ cos^mx sinⁿx dx интегрируются следующим образом:Если оба числа m и n– чётные, то пользуемся формулой понижения степени cos²x=(1+cosx)/2; sin²x=(1-cos2x)/2; sinx cosx=sin2x/2

52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Неопределённый интеграл выделением полного квадрата в подкоренном выражении и введением новой переменной в зависимости от знака приводится к одному из интегралов:

Неопр. интеграл завис. от знака приводится к одному из интегралов:

Неопр. в завис. от знака приводится к одному из интегралов:

Интеграл вида , где R- рациональная ф-я и целые числа, с помощью подстановки , где n-наименьшее общее кратное чисел , приводится к интегралу от рациональной ф-и.

Интеграл дифференциального бинома

где n,m,p- рац. числа ; a,b- постоянные. отличные от нуля, сводится к интегралу от рац. ф-и в трёх случаях:

1)котда p-целое число, -разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона при ; подстановкой , где N- общий знаменатель дробей m и n;

2)когда - целое число, - подстановкой , где s- знаменатель дроби p;

3)когда - целое число, - подстановкой

53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.

Пусть ф-я определена на отрезке . Разобьём отрезок точками . Длина каждого . Выберем в каждом из частичных отрезков точку .

Рассмотрим сумму Эта сумма наз. частично интегральной суммой ф-и на отрезке. Геометрически сумма предст. собой алгебраич. сумму площадей прямоугольников, в основании кот. лежат отрезки , а высоты равны .

Предел интегральной суммы , найденный при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стрем. к 0, ( мелкость разбиения стрем. к 0 ) наз. определённым интегралом функции в пределах от до

Теорема: если ф-я непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек .

Если на, то геометрически опр. интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком , осью ОХ и двумя прямыми и , называемый криволинейной трапецией.

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , то

6. 

7. 

8. , , то

9. ф-я непрерывна на отрезке, ,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка , такая, что

10. −я непрерывна и,то имеет место равенство Ф-я наз. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

11. Ньютона-Лейбница: если - какая-либо первообразная от, то