Раздел 3. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

3.1 Предел последовательности, предел функции

В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие множества является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые принимаются без определения.

Предметы, составляющие множество, называются элементами множества. То, что элемент входит во множество А, записывается так:(читается так: элементпринадлежит множеству А). Записьозначает, что элементне принадлежит множеству А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Множество можно задать

1) перечислением его элементов (например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном журнале);

2) указанием некоторого свойства, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества (например, множество {2,4} может быть задано таким свойством: множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1<x<5).

Если А и В два множества, то запись А=В означает, что они состоят из одних и тех же элементов. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А – подмножество В, и пишут: . Например, множество учеников 10-го класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы.

Определение. Если одновременно с отношением имеет место отношение, то множества А и В называются равными, т.е. А=В.

Отношения над множествами иллюстрируются с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству.

Пусть дано какое-либо множество Е. мы будем рассматривать всевозможные подмножества данного множества Е. Исходное множество в таком случае называют универсальным множеством.

Пусть множество А есть некоторое подмножество универсального множества Е, тогда множество , состоящее из всех элементов множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А. например, если А – множество всех девочек в классе, то- множество всех мальчиков того же класса.

Операции над множествами

1. Объединение двух множеств А и В – это множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В.

Обозначается .

2. Пересечение двух множеств А и В – это множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и В одновременно.

Обозначается .

3. Разность двух множеств А и В – это множество С, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

Обозначается .

Функции. График функции. Элементарные функции

Определение. Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое множество Е.

Функцию записывают так: . МножествоD называется областью определения функции, а его элемент - аргументом. Множество Е называется областью значений функции, а его элемент- функцией (значением функции, зависимой переменной).

Для того, чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения D; б) закон, по которому каждому числу ставится в соответствие число. Как следует из определения функции, каждомусоответствует только одно, но это вовсе не исключает того, что разным значенияммогут соответствовать одинаковые значения. Закон, по которому задается функция, можно задать разными способами: формулой (аналитический способ), графиком (графический способ), таблицей (табличный способ), словесной формулировкой.

Графиком функции называют множество точек на плоскости, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента, а ординаты – соответствующими значениями функции.

График функции представляет собой некоторую кривую на плоскости.

К основным элементарным функциям относятся следующие:

1. Степенная функция (- постоянное действительное число). При=0 степенная функция есть постоянная величина; при=1 получается функция(прямая пропорциональная зависимость); если=2, то степенная функцияявляется квадратичной; если=-1, то получается обратно пропорциональная зависимость.

2. Показательная функция (- положительное число,). Особую роль в математике играет показательная функция с основанием, то есть функция. Число- иррациональное число,=2,718281828459… Функциюназывают экспоненциальной функцией.

3. Логарифмическая функция (- положительное число,). На практике часто используют логарифмы по основанию=10 – десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята запись. Основаниетакже играет особую роль, логарифм по основаниюобозначают следующим образом:и называют натуральным логарифмом числа.

4. Тригонометрические функции

.

5. Обратные тригонометрические функции ,

.

Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций «взятие функции от функции», называются элементарными функциями. Операцию «взятие функции от функции» также называют композицией функций. Функция, в которой вместо переменной записана другая элементарная функция называется сложной функцией и также относится к множеству элементарных функций.

Понятие числовой последовательности и ее предела

Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число, то говорят, что задана числовая последовательность

Числа называются членами последовательности;называют общим членом последовательности.

Пример последовательности:

Введем понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числасуществует номерN такой, что все члены последовательности с номерамиn>N удовлетворяют следующему неравенству:

.

Обозначения: или.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет (конечный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Теорема (критерий Коши, необходимое и достаточное условие сходимости последовательности). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы для любого числасуществовал номерN такой, что для всех m, n>N выполнялось неравенство .

Последовательность , удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Теорема (единственной предела последовательности). Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Теорема 1. Если последовательности исходятся, то сходится и последовательности, причем

Теорема 2. Если последовательности исходятся, то сходится и последовательности, причем

Теорема 3. Если последовательности исходятся, то сходится и последовательности, причем

Теорема 4. Если последовательности исходятся, причемдля любогои, то последовательностьтакже сходится и

.

Предел функции

Определение. Переменная величина стремится к пределу (- постоянное число), если абсолютная величинастановится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой.

Предел функции при

Пусть функция задана на некотором интервале.

Определение. Число называется пределомпри, если для любогосуществует числотакое, что для любоговыполняется неравенство.

Предел функции при

Пусть функция определена во всех точках некоторого интервала, содержащего точку, кроме, может быть, самой точки.

Определение. Число называется пределом функции в точке(при ), если для любого (сколь угодно малого) положительного числа существует такое положительное число, зависящее от, что для всехиз- окрестности точки, исключая, быть может, саму точку(т.е. для всех, для которых выполняется неравенство), будет выполняться неравенство.

Замечательные пределы

В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы «замечательными»:

- первый замечательный предел

- второй замечательный предел

Пример 1.

(здесь введена новая переменная ).

Пример 2. . Положим.

Получаем

.

Раскрытие неопределенностей

Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы. Например, при отыскании , когдаиили одновременнои. В этом случае надо проделать над дробью некоторые преобразования. Чтобы обозначить такие ситуации, говорят, что имеем дело с неопределенностьюили, а вычисление предела называют «раскрытием неопределенности».

Пример 1. .

Пример 2. =

. (Чтобы убрать корни, умножили числитель и знаменатель на величину ,сопряженную числителю).

Пример 3. . (Поделили числитель и знаменатель дроби на старшую степень).

«Неопределенности» могут возникнуть и при вычислении предела произведения . Условно это записывается. Такую неопределенность легко преобразовать кили. Могут возникнуть также неопределенности вида.

Пример 4.

.

Сравнение бесконечно малых

Пусть ибесконечно малые (последовательности или функции).

1) Если конечный и отличный от нуля предел существует

,

то говорят, что иявляются бесконечно малыми (б.м.) одного и того же порядка.

2) Если , тоимеет высший порядок малости по отношению к(или- б.м. более высокого порядка, чем).

3) Если , тоимеет высший порядок малости по отношению к(или -б.м. более высокого порядка, чем).

4) Если , то две бесконечно малыеиназываются эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Пример.

.