2.2 Аналитическая геометрия на плоскости

Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем метода координат считают Рене Декарта, который дал описание метода координат и его применения к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к развитию целой ветви математики, которая решает геометрические задачи аналитически, т.е. алгебраическими методами и методами анализа. Эту часть математики называют аналитической геометрией.

1) Прямоугольная система координат – две взаимно перпендикулярные прямые (горизонтальная и вертикальная) с заданным масштабом.

2) Полярная система координат

Пусть на плоскости даны некоторая точка О и проходящая через нее ось ОХ. Положение любой точки М плоскости определяется расстоянием этой точки от полюса – радиус-вектором r и полярным углом между полярной осью и радиус-вектором.

Две координаты (r, ) определяют единственную точку плоскости и называются ее полярными координатами ().

Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.

Обозначим через декартовы координаты точки М, черезее полярные координаты. Тогда зависимость между полярными координатами (r, ) точки М и ее прямоугольными координатамивыражается формулами:

и обратно

.

Пример 1. Даны декартовы координаты точки М(1,-1). Найти ее полярные координаты.

Решение.

Так как х=1>0 и у=-1<0, то точка М находится в IV четверти, а значит

Итак, полярные координаты точки М().

Пример 2. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии .

Решение.

;

;

Прямая линия и ее уравнения

В аналитической геометрии всякую линию рассматривают как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенному свойству.

Линии на плоскости соответствует некоторое уравнение с двумя переменными х и у, , которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащие на ней. Такое уравнение называется уравнением данной линии.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всякая прямая в декартовой система координат может быть представлена уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение первой степени относительно х и у определяет прямую линию.

Рассмотрим прямую, не параллельную осям координат. Положение ее на плоскости вполне определяется заданием угла наклона прямой к оси ОХ и ординатой точки В, точки пересечения прямой с осью OY (обозначим через ). Угол наклона прямой к оси ОХ обозначим через,.

Тогда уравнение прямой будет иметь вид

.

Пусть заданы две прямые

,

.

Формула для вычисления угла между двумя прямыми имеет вид:

Исходя из данной формулы, определим условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

а) две прямые параллельны тогда и только тогда, когда ;

б) две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

2. Общее уравнение прямой имеет вид

,

где А и В – произвольные числа, не равные нулю одновременно.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Найдем уравнение прямой с данным угловым коэффициентом , проходящей через данную точку М. Тогда уравнение прямой будет иметь вид:

.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Даны две точки и. Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид:

.

5. Уравнение прямой в отрезках

Пусть даны точки и,. Уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид:

6. Уравнение прямой с нормальным вектором , проходящей через точкуимеет вид:

Нормальный вектор – это вектор, перпендикулярный данной прямой.

7. Каноническое уравнение прямой по точке и направляющему векторуимеет вид:

.

Направляющий вектор – вектор, параллельный данной прямой.

8. Параметрические уравнения прямой

.

Пример. Треугольник АВС задан своими вершинами А(1; 3), В(-2; 0), С(4; -1). Составить уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной прямой ВС, и высоты, опущенной из вершины А.

Решение. а) Найдем середины отрезков АВ и АС (точки М и N соответственно):

; .

Составим уравнение прямой MN по двум точкам:

;

;

- уравнение средней линии треугольника АВС, параллельной ВС.

б) Из вершины А треугольника АВС опустим перпендикуляр АН, и составим уравнение этой прямой.

Прежде всего составим уравнение прямой ВС:

;

; ;.

Так как .

Тогда, уравнение прямой АН с угловым коэффициентом и проходящей через точку А(1;3) имеет вид:

;

;

- уравнение высоты треугольника АВС, опущенной из вершины А.

Расстояние от точки до прямой

Для вычисления расстояния от точкидо прямойиспользуется формула

Кривые второго порядка

Общее уравнение второго порядка относительно х и у члены второй степени (), первой степени () и нулевой степени (свободный член), имеет вид:

.

Хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля.

Данной уравнение является уравнением второй степени, а линии, уравнения которых описываются этими уравнениями, называются кривыми второго порядка на плоскости.

1. Окружность

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки на расстояниеR.

Точка С называется центром окружности, R – радиус данной окружности.

Уравнение окружности с центром в точке и с радиусомR имеет вид:

.

Замечание 1. Если начало координат совпадает с центром окружности, то ее уравнение имеет вид:

.

Такое уравнение называется каноническим уравнением окружности.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка

.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие х, и отдельно члены, содержащие у, и выделим их полные квадраты.

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение окружности с центром в точке С(1, -2) и радиусом, равным 3.

2. Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат имеет вид:

,

где .

Вершины эллипса имеют следующие координаты:

.

Отрезок - большая ось эллипса, отрезок- малая ось эллипса, соответственнои- большая и малая полуоси эллипса.

Фокуса эллипса имеют следующие координаты:

. Ось симметрии эллипса, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью.

Замечание 1. Если , тогда каноническое уравнение эллипса примет види определяет окружность, а значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса с равными полуосями.

Замечание 2. Число называется эксцентриситетом эллипса.

Для эллипса (для окружности). Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень маломполуосиипочти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величинаблизка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.

Замечание 3. Если фокусы эллипса расположены на оси OY, то эллипс «вытягивается» вдоль оси OY, тогда фокусы имеют координаты ,.

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось .

Решение. По условию, .

Мы знаем, что .

Итак, каноническое уравнение эллипса имеет вид

.

3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе координат имеет вид:

,

где .

Вершины эллипса имеют следующие координаты:

.

Отрезок - большая ось эллипса, отрезок- малая ось эллипса, соответственнои- большая и малая полуоси эллипса.

Фокуса эллипса имеют следующие координаты:

.

Асимптоты гиперболы – это прямые и.

При гипербола называется равносторонней.

Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна и расположена на оси ОХ, а действительная ось равнаи расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы имеет вид:

.

Замечание 2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной оси:

.

Для любой гиперболы , это число определяет форму гиперболы.

4. Парабола

Парабола есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнений параболы в выбранной системе координат имеет вид:

.

Уравнение директрисы имеет вид:

.

Фокус имеет координаты .

Замечание 1. Уравнение определяет параболу, область определения которой х<0.

Замечание 2. Парабола имеет вершину в начале координат, фокус, директрису, ветви параболы направлены в положительную сторону оси ОY, и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы .