3.2. Классические методы определения экстремумов функции

3.2.1. Задача на абсолютный экстремум

Напомним, что если непрерывная функция n переменных х = (х₁, ... ,х_n) F(х) имеет в точке х_опт максимум, то существует ε > 0 такое, что для всех х из ε-окрестности точки х_опт

F(x) ≤ F(х_опт).

Выберем два вида приращения х_j вдоль j-й координаты:

Δх_j = х_j – х_jопт > 0;

Δх_j = х_j – х_jопт <0.

Тогда:

[F(х_j) – F(х_jопт)]/Δх_j ≤ 0 при Δх_j > 0;

[F(х_j) – F(х_jопт)]/Δх_j  0 при Δх_j <0.

П

(3.5)

ереходя в этих соотношениях к пределу при х_j → 0, получаем:

F(х_jопт)/х_j ≤ 0; F(х_jопт)]/х_j  0.

Из этих соотношений следует (условия Ферма), что



(3.6)

F(х_jопт)/х_j = F(х_опт)/х_j = 0; j = 1, 2, ..., n.

Аналогичное соотношение можно получить для случая минимума функции. Таким образом, доказана необходимость условий (3.6) для достижения в точке х_опт максимума или минимума функции F(х), т.е. если имеется экстремум, то условия (3.6) удовлетворяются. Но равенство нулю всех производных в точке х_опт еще не обеспечивает существования в ней экстремума, т.е. условия (3.6) не являются достаточными. Геометрически это означает, что в случае нулевой производной от функции одной переменной может иметь место точка перегиба, а не максимум (или минимум), а в случае функции двух переменных – седловая точка, а не экстремум и т.д. Поэтому точки х_опт, в которых выполняются соотношения (3.6), называются стационарными.

3.2.2. Задача на условный экстремум

Заметим, что условие (3.6) удалось получить благодаря возможности придавать переменной х приращения двух знаков, откуда и возникли два неравенства (3.5). Если допустимая область значений х ограничена неотрицательными значениями х  0, то внутри области, где х > 0, справедливость условия (3.6) сохраняется, так как там допустимы приращения обоих знаков. На границе области х  0, где х = 0, допускается только положительное приращение Δх > 0, можно говорить только об односторонней производной, и из (3.6) следует следующее необходимое условие максимума:

F(х_опт)/х_j ≤ 0.

Необходимое условие минимума на границе области х_j = 0 запишется в виде

F(х_опт)]/х_j  0.

При определении условного экстремума функции, когда требуется определить максимум (или минимум) функции F(х) при ограничивающих условиях

φ_i(х) = b_i, i = 1, ..., m,

т.е.

F(x) = max;

φ_i(х) = b_i,

используется также метод множителей Лагранжа, который, так же как в случае классического вариационного исчисления (см. юниту 1), заключается во введении функции Лагранжа

Ф

(3.7)

=F(x) + [b_i – φ_i(х)],

где – неопределенные множители Лагранжа.

Полагая, что функция является частным случаем функционала, получаем, что необходимые условия экстремума находятся прямым дифференцированием соотношения (3.7) и записываются в виде



(3.8)

Ф/x_j = F/x_j + ∑λ_i(φ_i/х_j) = 0, j = 1, ..., n;



(3.9)

Ф/λ_i = b_i – φ_i(х) = 0, i = 1, ..., m.

Если ввести в рассмотрение векторы

λ = (λ₁, ..., λ_m);

φ = (φ₁ , ..., φ_m);

b = (b₁, ..., b_m);

gradf(x) = {f/x₁, f/x₂, ..., f/x_n},

соотношения (3.8) и (3.9) перепишутся как условия Лагранжа:

gradФ = gradF – λgradφ = 0;

b – φ = 0,

где равенство нулю векторов понимается покомпонентно.

В случае n = 2 и m = 1 геометрическая задача об отыскании условного экстремума сводится к отысканию точки касания А кривой φ = b к одной из кривых постоянного уровня F = const.