Тема Основные понятия высшей математики

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

|y — A|<е, при | х —a|<δ

lim y= А

| х —a|→0

Основные теоремы о пределах.

Предел постоянной величины

limА=А.

Предел суммы (разности) конечного числа функций

lim [f(x)+φ(x)+ψ(x)]= lim f(x)+ lim φ(x)+ lim ψ(x) x→а x→а x→а x→а

Предел произведений конечного числа функций

lim [f(x) •φ(x) •ψ(x)]= lim f(x) • lim φ(x) • lim ψ(x)

x→а x→а x→а x→а

Предел частного двух функций:

lim [f(x) /φ(x)]= lim f(x) / lim φ(x) при lim φ(x)≠0

x→а x→а x→а x→а

Производная.

Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

ý=lim (Δy /Δx)

Δx →0

Производные некоторых функций :

у=С:	ý= 0;
y=x	ý=1
у = хμ:	ý=μxμ-1
у = аx: у = ех то	ý=axlna; ý= еx;
y=logax у = lпх	ý=( logae)/x=1/(x lna) ý=1/x
y=sinx y=cos x y = tgx. y = ctgx.	y'=cosx; ý = — sin x; ý =1/cos2x ý =-1/sin2x
y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx	ý =1/(1-x2)1/2 ý =-1/(1-x2)1/2 ý =1/(1+x2) ý =-1/(1+x2)
y = v±u:	y' = u'±v'
y=uv	y' = u'v + v'u.
y=u/v:	y' =( u'v- v'u)/ v2
y = f1(u), если u = f2(x),	у'x = у'uu'x

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ЕЁ МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Приращение аргумента и функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором интервале, х₀ и х – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х – х₀ = х, откуда х = х₀ + х, то есть значение аргумента х можно определить через х₀ и его же приращение х.

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: у = f = f(x₀ +x) – f(x₀).

Как видно из рис.1, приращение аргумента х изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции f – приращение ординаты этой точки.

Рис.1

Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:

1. даем аргументу х приращение х и получаем точку х + х;

2. находим значение функции в точке х + х: f(x + x);

3. находим приращение функции: f = f(x + x) – f(x).

Понятие непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

1. функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2. предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть

Определение производной. Задача нахождения скорости процессов привела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращение х, тогда функция получит приращение f:

Отношение

является функцией от х и выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале х, х+х.

Предел отношения f/x приращения функции f к приращению аргумента х, когда х стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции f(x) в точке .

Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):

В этом и состоит физический (в том числе механический) смысл производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ.

По уравнению непрерывной линии у = f(x) найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точке М(х; f(x)), предполагая, что касательная существует.

Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точку М(х; f(x)) и дадим аргументу х приращение х. По значению аргумента х+х получаем новое значение функции f(x + x), соответствующее точке М(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущую ММ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через . Из рисунка следует, что f/x=tg. При х  0 точка М перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке М. Секущая ММ поворачивается вокруг точки М, и величина угла  изменяется. При приближении секущей ММ к касательной МТ угол  приближается к углу  и

Угловой коэффициент касательной

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Рис. 2