Задание для студентов на практическое №6по теме
«Случайные величины, их распределения и числовые характеристики распределения»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме
Вопросы теории ( исходный уровень)
Случайные величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения случайной величины.
Числовые параметры случайных величин: математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
Примеры различных законов распределения случайных величин.
Нормальный закон распределения случайной величины и его свойства.
Понятие «нормы» в медицинских показателях. (лекция №1)
Содержание занятия:
1.ответить на вопросы по теме занятия
2.решить примеры
Задачи и примеры
30. Найти распределение случайной величины, образующейся при бросании правильного однородного тетраэдра (см. рис. 1 к задаче 7.3) с пронумерованными гранями 1, 2, 3 и 4. Проверить, выполняется ли условие нормировки.
31. Указать распределение случайной величины, соответствующей выпадению одной из двух сторон (№ 1 и 2) подброшенной монеты. Проверить, выполняется ли условие нормировки.
32. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, распределенной по условию задачи 8.1.
33. Случайная величина представлена следующим законом распределения:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
34. Случайная величина представлена следующим законом распределения:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Дисперсию вычислить двумя способами: по формулам (8.4) и (8.5).
35. График функции распределения вероятностей изображен на рис. 3: f(х) = b (0<х<a); f(х) = 0 (х<0; ха). Найти связь между а и b.
36. График функции распределения вероятностей изображен нарис.4. Найти связь между а и b.
37. Плотность вероятности задана законом:
Найти а.
38. График функции распределения соответствует полуокружности радиуса R, изображенной на рис. 5. Чему равен этот радиус?
Рис. 5 Рис. 6
39. Найти функцию распределения непрерывной случайной величины, соответствующей задачам 8.68.8.
40. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной графиком рис. 3.
41. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, представленной графиком рис. 4.
42. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины, график функции распределения вероятностей которой изображен на рис. 6.
43. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения (8.12), причем математическое ожидание равно нулю (а = 0). Какова вероятность того, что случайная величина имеет значения х0? x0?
44. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения (8.12). Какова вероятность того, что случайная величина принимает значения х < a? х > а?
45. В нормальном законе распределения а = 2; = 4. Чему равно х, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие х, равна 3/4?
46. Нормальный закон распределения представлен графически симметрично относительно х = 0. Найти вероятность того, что случайная величина принимает значения: а) -0<х<; б) -2<х<2; в) -3<х< 3.
47. Показать, что для функции (8.14) выполняется условие нормировки.
Указание:
Тема Математическая статистика
Относительная частота события P*(A)=m/n
где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.
Вероятность случайного события
P(A)=lim(m/n) (при n→∞)
Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий
P( А или В) = Р(А) + Р(В).
Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей)
P(А и В) = Р(А)Р(В).
Р(АиВ)=Р(В/А)Р(А)
Для двух событий вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испы-таниях (биномиальное распределение)
Pin=n(n-L)•••(n_-L+1)PL(L-P)n-L ⁄ L!,
где Р — вероятность наступления события А.
Распределением дискретной случайной величины называют сово-
купность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей:
p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….
Условие нормировки для дискретной случайной величины, имеющей п значений,
Среднее значение дискретной случайной величины
‹X›=(m1 1+m2x2+…+mnxn)/n=x1m1/n+..+xnmn/n
где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значение xi.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
M(X)= x1p1 +..+xnpn
Дисперсия дискретной случайной величины
D(X) = M{[X-M(X)]2},
D(X) = M(X2)-[M(X)]2,
Среднее квадратическое отклонение
S(X)=(D(X))1/2
Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (а, b)
где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей) .
Условие нормировки для непрерывной случайной величины
Функция распределения случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) |
|
где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение. График закона распределения представлен на рис.
|
Функция распределения по нормальному закону
F(x)=Ф((x-a)/σ)
Значения функции Ф даны в табл.
Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох
где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.
Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)
Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул
где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)
Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h (барометрическая формула)
где рh— давление на высоте h=0
Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h
где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О
Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение генеральной совокуп-ности)
‹ xв› - ε< μ < ‹ xв› + ε,
где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε характеризует точность оценки и называется доверительным интервалом
При большой выборке (n>30)
τ=(εn1/2)/σ
где σ - генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое отклонение
Связь между τ и P Ф(τ)=(1+P)/2
Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке
n≤30
ε=ts/n1/2
Здесь s2=nσb2/(n-1)— исправленная выборочная дисперсия,
где σb2 — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.