Симплекс-метод решения злп

Особенностью задач ЛП является то, что целевая функция достигает экстремума на границе области допустимых решений (ОДР).

Допустимый план, принадлежащий границе ОДР, называется опорным планом.

Алгоритм симплекс-метода

1. Находим какой-либо начальный опорный план .

2. Проверяем его на оптимальность. Если план оптимален, то задача решена, иначе переходим к пункту 3.

3. По правилам преобразования таблицы Жордана переходим к нехудшему опорному плану. Переходим к пункту 2.

С геометрической точки зрения перебор опорных планов можно толковать как переход по ребрам из одной вершины многогранника планов (области допустимых решений) в другую, по направлению к вершине , в которой целевая функция достигает экстремального значения.

Геометрическая интерпретация в случае двух переменных

Отыскание начального опорного плана (1-ый пункт алгоритма)

Пусть система ограничений ЗЛП представлена в канонической форме записи:

.

Говорят, что ограничение ЗЛП имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части () левая часть ограничения содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения-равенства – с коэффициентом, равным нулю.

Например, в системе ограничений

первое и второе ограничения имеют предпочтительный вид, а третье – нет (предпочтительные переменные подчеркнуты).

Если каждое ограничение системы имеет предпочтительный вид, то система представлена в предпочтительном виде. В этом случае легко найти ее опорное решение. Предпочтительные переменные будут базисными, а остальные – свободными. Все свободные переменные нужно приравнять к нулю, тогда базисные переменные будут равны свободным членам.

Например, в системе ограничений:

предпочтительными (базисными) являются переменные свободными – переменные.

Приравниваем свободные переменные к нулю, тогда базисные переменные примут значения:,,.

Получим начальный опорный план .

Отыскание начального опорного плана методом искусственного базиса

В случае, когда ограничение-равенство не имеет предпочтительного вида, к его левой части добавляют искусственную переменную . В целевую функцию переменныевводят с коэффициентомM в случае решения задачи на минимум и с коэффициентом –М в случае решения задачи на максимум, где М – большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.

Пусть исходная ЗЛП имеет каноническую форму записи:

;

где ,

.

Если ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной, то М-задача запишется так:

;

,

,

.

Тогда начальный опорный план этой задачи: .

Если некоторое уравнение имеет предпочтительный вид, то в него не следует вводить искусственную переменную.

Например, воспользуемся канонической формой записи ЗЛП примера 2 и найдем начальный опорный план методом искусственного базиса.

Составим М-задачу:

;

Тогда начальный опорный план: , значение целевой функции на этом плане:

.

Отыскание начального опорного плана путем преобразования таблицы Жордана

Для заполнения таблицы Жордана каноническую форму ЗЛП преобразовываем к следующему виду:

(2.11)

(2.12)

где все .

Таблица Жордана содержит столбцов, где– число переменных,– число переменных в предпочтительном виде истрок, где– число ограничений-равенств. В столбце «БП» записываются базисные (предпочтительные) переменные. Если ограничение не имеет предпочтительной переменной, то записывается 0. Столбец «1» – столбец свободных членовсистемы ограничений (2.12) а в-строке – элементиз (2.11). Остальные столбцы «СП», в основной части которых находится элементыиз системы (2.12). В-строке, в столбцах «СП», записываются коэффициенты при свободных переменных, стоящие в скобках выражения (2.11). Каждому ограничению-равенству из системы (2.12) соответствует строка основной части таблицы. Целевой функции (2.11) соответствует последняя строка таблицы (таблица 4).

Таблица 4

				СП
БП	1		…		...
0			…		...
...	...	...	…	...	....	...
0			…		...
...	...	...	…	...	...	...
0			…		...
			…		...

Для нахождения начального опорного плана необходимо в результате Жордановых преобразований избавиться от нулей в первом столбце таблицы.

Преобразование таблицы называется шагом Жордановых исключений и осуществляется относительно выбранного разрешающего элемента. Разрешающий элемент выбирается среди положительных чисел основной части таблицы (которая выделена ) по наименьшему отношению свободных членов (элементы столбца 1) к соответствующим положительным элементам столбца, выбранного разрешающим.

Пусть s-ый столбец будет разрешающим, тогда если для, то– разрешающий элемент.