Формы записи задач линейного программирования

Симметричной (стандартной) формой записи ЗЛП называется задача максимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.2) и (2.5) или задача минимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.4) и (2.5), т.е.

;

,

или ;

,

,

где – заданные действительные числа.

Канонической формой записи ЗЛП называется задача минимизации или максимизации целевой функции (2.1) при ограничениях вида (2.3) и (2.5), т.е.

Приемы, позволяющие переходить от одной формы записи условий задач к другой

1. Переход от задачи на минимум к задаче на максимум осуществляется умножением целевой функции на «–1». Действительно, если функция достигает минимума при значениях , то функция достигает при тех же значениях переменных максимума.

1. Переход от неравенства вида  к неравенствам вида  (и наоборот) также осуществляется умножением исходного неравенства на –1.

2. Переход от неравенства к равенству осуществляется введением дополнительной неотрицательной переменной . К примеру, если первое ограничение имеет вид, то, вводя неотрицательную переменную, получим, если второе ограничение имеет вид, то, вводя неотрицательную переменную, получим

3. При переходе от равенств к неравенствам можно руководствоваться следующим: если дано А=B, то это можно формально записать в виде двух неравенств А  В, А  В;

4. Введение условий неотрицательности переменных. Пусть на переменную это условие не было наложено, тогда вместо этой переменной можно ввести две неотрицательные переменныеии представить, где. Это всегда возможно.

Изложенными приемами общая ЗЛП может быть сведена к симметричной и канонической формам записи ЗЛП и наоборот. Однако, поскольку в процессе таких преобразований мы вводили дополнительные переменные, то после того, как задача решена, нужно произвести обратный переход к исходным переменным, определяющим непосредственный экономический смысл задачи.

Пример 4

Пусть математическая модель задачи имеет следующий вид

;

Для получения общей задачи линейного программирования необходимо, чтобы на все переменные было наложено условие неотрицательности. Для наложения этого ограничения на переменную воспользуемся правилом 5. Введем новые неотрицательные переменныеии представим, гдеи.

Тогда ОЗЛП будет иметь вид

;

или (раскрыв скобки):

;

В симметричной (стандартной) форме записи задача будет иметь вид

;

Здесь ограничение (2.6) умножено на –1, а ограничение (2.7) заменено двумя ограничениями:

откуда, домножив второе ограничение на –1, получим ограничение (2.9) вида .

Таким образом, из ограничения (2.7) получены ограничения (2.8) и (2.9).

В канонической форме записи ЗЛП будет иметь вид

;

Пример 5

Экономико-математическую модель задачи, составленную в примере 2, представим в канонической форме записи:

;

Введенные дополнительные переменные иимеют экономический смысл, связанный с содержанием задачи. Здесь,– время простоя оборудования А₁ и А₂ соответственно.

Графический метод решения злп

Графическим методом можно решать любые задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными (=2), а также ЗЛП с>2 переменными, если в ее канонической записи число неизвестныхи число линейно независимых уравненийсвязаны соотношением.

Пример 6

Решим графически задачу ЛП, экономико-математическая модель которой составлена в примере 3.

;

(2.10)

Вначале построим многоугольник решений или ОДР задачи (рисунок 1). Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые:

Затем определим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство, подставив координаты какой-нибудь точки, например начала координат. Ограничения (2.10) означают, что ОДР лежит в I четверти системы координат . Соответствующие полуплоскости на рисунке показаны стрелками. Пересечение указанных полуплоскостей и определяет многоугольник решений данной задачи (ОДР).

Для того чтобы построить прямую , строим направляющий вектор , который перпендикулярен прямойZ. Прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная вектору , и будет прямая. Затем прямуюперемещаем параллельно самой себе в направлении вектораN по многоугольнику решений (ОДР) (рисунок 1). Последняя точка соприкосновения прямой с ОДР и есть оптимальное решение.

Рисунок 1

Вектор указывает направление возрастания целевой функцииZ. Оптимальное решение ЗЛП может достигаться лишь в точках, принадлежащих границе многоугольника решений. В нашем примере, как видно из рисунка 1, функция Z принимает максимальное значение в точке . Точкалежит на пересечении прямыхи. Для определения ее координат необходимо решить систему уравнений:

Откуда . Это и есть оптимальный план задачи. Подставив значениеив целевую функциюZ, получаем

.

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 56 ден. ед., необходимо запланировать выпуск 8 ед. продукции вида П₁ и 4 ед. продукции П₂.