Закрытая и открытая модели транспортной задачи

Модель ТЗ называют закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза всех поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство:

. (2.3)

Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

, (2.4)

, (2.5)

то модель задачи называют открытой (несбалансированной).

Для составления математической модели и для решения ТЗ с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую модель.

Так, при выполнении условия (2.4) необходимо ввести фиктивного (n+1)-ого потребителя, при этом в матрице задачи добавляется столбец. Спрос фиктивного потребителя полагают равным небалансу, то есть, а тарифы равными нулю, то есть. Переменные– это объем груза, который останется уi-ого поставщика.

Аналогично, при выполнении условия (2.5) вводится фиктивный поставщик , при этом в матрице задачи добавляется строка. Запас груза фиктивного поставщика равен:, а тарифы равными нулю, то есть. Переменные– это объем груза, на который запросj-ого потребителя останется неудовлетворенным.

При преобразовании открытой модели задачи в закрытую модель, целевая функция не изменяется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

Целевая функция (2.1) и система ограничений (2.2) являются математической моделью сбалансированной ТЗ.

Пример 2.1

В трех хранилищах иимеется соответственно 70, 90 и 50 т топлива. Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителями, спрос которых равен соответственно 50, 70, 40 и 40 т так, чтобы затраты на транспортировку были минимальными. Стоимость перевозки 1 т (в усл. ден. ед.) указана в таблице 2.2.

Составить математическую модель транспортной задачи.

Таблица 2.2

	Потребители									Запас топлива, т
Хранилища
		5		4		3			6	70
		4		3		5			1	90
		2		4		1			5	50
Потребность в топливе, т	50		70		40			40

Решение

Т. к. условие (2.3) не выполнено, то задача несбалансированная. Приведем ее к сбалансированному виду. Поскольку запасы топлива в хранилищах () превышают спрос потребителей (), введем фиктивного потребителя, спрос которого равен. Все тарифы фиктивного потребителя будут равны нулю, т.е.. Распределительная таблица примет вид (таблица 2.3):

Таблица 2.3

	Потребители					Запас топлива, т
Хранилища
	5	4	3	6	0	70
	4	3	5	1	0	90
	2	4	1	5	0	50
Потребность в топливе, т	50	70	40	40	10	210

Составим математическую модель сбалансированной транспортной задачи.

Обозначим – объемы перевозок топлива в тоннах от-го хранилища-му потребителю.