- •Математическое программирование
- •Часть 2
- •30 Мая 2013, протокол № 10
- •Тема 2 транспортная задача линейного программирования (тз) 4
- •Закрытая и открытая модели транспортной задачи
- •2.2 Решение транспортной задачи
- •Алгоритм решения транспортной задачи
- •Нахождение начального опорного плана методом «минимального элемента»
- •Нахождение начального опорного плана методом «северо-западного угла»
- •Нахождение начального опорного плана методом Фогеля
- •Проверка на оптимальность невырожденного опорного плана методом потенциалов
- •Переход к новому опорному плану
- •Цикл пересчета
- •Тема 3 задача о назначениях
- •3.1 Математическая модель задачи о назначениях
- •Закрытая и открытая модели задачи назначениях
- •3.2 Решение задачи о назначениях
- •Алгоритм венгерского метода решения задачи о назначениях
- •Тема 4 динамическое программирование
- •4.1 Задача оптимального распределения ресурсов
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •4.1.11–4.1.16
- •4.2. Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •4.2.1–4.2.10
- •Список использованной литературы
- •Математическое программирование
- •220114, Минск, ф.Скорины, 8/2
4.1 Задача оптимального распределения ресурсов
Пусть на реконструкцию и модернизацию основного производства объединению выделяется некоторый объем материальных ресурсов Х. ИмеетсяNпредприятий, между которыми нужно распределить данный ресурс. Обозначим черезприбыль, которому приносит народному хозяйству выделениеj-му предприятиюединиц ресурса. Предполагается, что размер прибыли зависит как от выделенного количества ресурса, так и от предприятия. Причем прибыль, получаемая предприятиями измеряется в одних и тех же единицах и общая прибыль объединения состоит из прибылей отдельных предприятий. Необходимо найти оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями, при котором общая прибыль объединения будет максимальной.
Поставленную задачу нужно рассмотреть как многошаговую.
На этапе условной оптимизации будем рассматривать эффективность вложения средств на одном (например, на первом предприятии), на двух предприятиях вместе (на первом и втором), на трех предприятиях вместе (на первом, втором и третьем) и т. д., и наконец, на всех Nпредприятиях вместе. Задача состоит в определении наибольшего значения функциипри условии, что.
Воспользуемся рекуррентным соотношением Беллмана (4.1), которое для данной задачи приводит к следующим функциональным уравнениям при :
Здесь функция определяет максимальную прибыль первого предприятия при выделении емуxединиц ресурса, функцияопределяет максимальную прибыль первого и второго предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса, функцияопределяет максимальную прибыль первого, второго и третьего предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса и т. д., и наконец, функцияопределяет максимальную прибыль всех предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса.
На этапе безусловной оптимизации определяется оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями.
Пример 4.1.
Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции четырем предприятиям производственного объединения выделены средства в размере 50 млн. руб. Каждому из предприятий может быть выделено: 0, 10, 20, 30, 40 или 50 млн. руб. При этом ежегодный прирост выпуска продукции каждым из предприятий в зависимости от капиталовложений известен и приведен в таблица 4.1.
Таблица 4.1
Объем выделенных средств x(млн. руб.) |
Ежегодный прирост выпуска продукции (млн. руб.), в зависимости от объема выделенных средств | |||
|
|
|
| |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
3 |
5 |
2 |
4 |
20 |
6 |
8 |
5 |
7 |
30 |
9 |
12 |
11 |
10 |
40 |
14 |
15 |
14 |
13 |
50 |
17 |
18 |
18 |
17 |
Найти оптимальный план распределения средств между предприятиями, обеспечивающий максимальный ежегодный прирост выпуска продукции производственным объединением.
Решение