Из свойств средней получается формула упрощающая вычисления

(в качестве С – берут варианту, приходящуюся на середину вариационного ряда или варианту с набольшей частотой, шаг интервала).

Середины	Частоты	С=164,5
143,5	4	-21	-3	-12
150,5	8	-14	-2	-16
157,5	10	-7	-1	-10
164,5	16	0	0	0
171,5	11	7	1	11
178,5	6	14	2	12
185,5	5	21	3	15
Итого	60	-	-	0

Тогда, .

Медианой Ме называется вариант, приходящийся на середину вариационного ряда. Для нахождения Ме необходимы накопленные частоты. В случае дискретного ряда и , если, то.

В случае интервального распределения, используется допущение, что на каждом интервале варианты распределены равномерно.

В нашем случае .

Оба этих варианта находятся на интервале (161; 168], причём на этом интервале находится 16 вариантов равно отстоящих друг от друга на величину . Последний вариант предыдущего интервала, тогда

,

,

.

Модой Мо называется наиболее часто встречающийся вариант. Для дискретного распределения этот вариант очевиден, для интервального распределения

,

где начальное значение модального интервала,

величина модального интервала,

частота модального интервала,

частота предыдущего интервала,

частота последующего интервала.

.

Размах вариации .

Средним линейным отклонением называется величина

.

.

Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

среднее квадратическое отклонение.

Из свойств дисперсии вытекает упрощённая формула для её вычисления:

.

Т.о., предыдущая таблица будет дополнена столбцами:

Частоты
4	-3	9	36
8	-2	4	32
10	-1	1	10
16	0	0	0
11	1	1	11
6	2	4	24
5	3	9	45
60	-	-	158

.

Центральным моментом вариационного ряда третьего порядка называется

.

Коэффициентом асимметрии называется отношение .

А – является показателем скошенности ряда в ту или иную сторону.

Если , распределение симметричное,положительная (правосторонняя),отрицательная (левосторонняя) асимметрии.

, т.е. распределение практически симметричное.

Для нахождения ив таблице достаточно добавить три столбца:

.

Задача 2

Считая данные задачи 1 результатом собственно случайной повторной выборки из большой генеральной совокупности, определить:

1. точечные оценки средней и дисперсии в генеральной совокупности,

2. интервальную оценку средней при доверительной вероятности 0,95 ,

3. вероятность того, что ошибка выборочной средней не превосходит 4 м³/га,

4. необходимый объём выборки, чтобы ошибка выборочной средней с вероятностью 0,99 не превышала 1 м³/га.

Р е ш е н и е

Выборочная средняя собственно случайной повторной выборки является случайной величиной, математическое ожидание которой равно генеральной средней , а дисперсия равна, где - генеральная дисперсия, объём выборки. Кроме того, выборочная средняя является распределённой по нормальному закону и к ней применима формула этого закона

.

При этом можно считать, что выборочная средняя совпадает с генеральной средней, , а для генеральной и выборочной дисперсий справедливо соотношение

.

Если объём выборки достаточно велик () , то , и, следовательно, можно положить

.

1) В качестве точечной оценки генеральной средней необходимо положить выборочную среднюю, которая является состоятельной, несмещённой и эффективной оценкой генеральной средней

.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Несмещённой оценкой является

.

В нашем случае, при 60 , , потому в качестве точечной оценки генеральной дисперсии можно принять величину

.

2) По заданной доверительной вероятности находим значение аргумента функции Лапласа

.

Применяя формулу предельной ошибки выборочной средней, находим

.

Таким образом, получаем доверительный интервал

или ,

т.е., с вероятностью 0,95 в генеральной совокупности средний показатель водопотребления находится в границах от 161,63 до 167,37 м³/га.

3) Имеем . Отсюда.

По таблице интегральной функции Лапласа находим соответствующую доверительную вероятность

.

4) Из находим. Преобразовав соответствующим образом формулу предельной ошибки выборки, получаем

.

Таким образом, выборочная совокупность должна состоять из не менее 859 участков.